Номер 875, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 875, страница 176.

Условие.

875. Упростите выражение:

а) $5a(a - 8) - 3(a + 2)(a - 2);$

б) $(1 - 4b)(4b + 1) + 6b(b - 2);$

в) $(8p - q)(q + 8p) - (p + q)(p - q);$

г) $(2x - 7y)(2x + 7y) + (2x - 7y)(7y - 2x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $5a(a - 8) - 3(a + 2)(a - 2)$

Для упрощения выражения сначала раскроем скобки. В выражении $(a + 2)(a - 2)$ применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.

$5a \cdot a - 5a \cdot 8 - 3(a^2 - 2^2) = 5a^2 - 40a - 3(a^2 - 4)$

Раскроем оставшиеся скобки и приведём подобные слагаемые:

$5a^2 - 40a - 3a^2 + 12 = (5a^2 - 3a^2) - 40a + 12 = 2a^2 - 40a + 12$.

Ответ: $2a^2 - 40a + 12$

б) $(1 - 4b)(4b + 1) + 6b(b - 2)$

Первое произведение $(1 - 4b)(4b + 1)$ является разностью квадратов $(1 - 4b)(1 + 4b)$, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Применим формулу: $1^2 - (4b)^2 = 1 - 16b^2$.

Второе слагаемое $6b(b - 2)$ раскроем, умножив $6b$ на каждый член в скобках: $6b^2 - 12b$.

Сложим полученные выражения и приведём подобные слагаемые:

$(1 - 16b^2) + (6b^2 - 12b) = 1 - 16b^2 + 6b^2 - 12b = -10b^2 - 12b + 1$.

Ответ: $-10b^2 - 12b + 1$

в) $(8p - q)(q + 8p) - (p + q)(p - q)$

Оба члена выражения представляют собой произведения, которые можно свернуть по формуле разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.

Первый член: $(8p - q)(q + 8p) = (8p - q)(8p + q) = (8p)^2 - q^2 = 64p^2 - q^2$.

Второй член: $(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$.

Вычтем второй результат из первого и приведём подобные слагаемые:

$(64p^2 - q^2) - (p^2 - q^2) = 64p^2 - q^2 - p^2 + q^2 = (64p^2 - p^2) + (-q^2 + q^2) = 63p^2$.

Ответ: $63p^2$

г) $(2x - 7y)(2x + 7y) + (2x - 7y)(7y - 2x)$

В этом выражении есть общий множитель $(2x - 7y)$, который можно вынести за скобки.

$(2x - 7y) \cdot ((2x + 7y) + (7y - 2x))$

Упростим выражение во второй (большой) скобке, приведя подобные слагаемые:

$2x + 7y + 7y - 2x = (2x - 2x) + (7y + 7y) = 14y$.

Теперь исходное выражение равно произведению $(2x - 7y) \cdot 14y$.

Раскроем скобки и получим окончательный ответ: $2x \cdot 14y - 7y \cdot 14y = 28xy - 98y^2$.

Ответ: $28xy - 98y^2$