Номер 868, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 868, страница 175.

Условие.

868. Представьте выражение в виде многочлена:

а) $(b + a)(b - a)^2$;

б) $(x + y)^2(y - x)$;

в) $(a - 4)(a + 4)^2$;

г) $(3p + 1)^2(1 - 3p)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для преобразования выражения $(b + a)(b - a)^2$ в многочлен, воспользуемся формулами сокращенного умножения.

Представим $(b - a)^2$ как произведение двух скобок: $(b - a)(b - a)$.

Тогда исходное выражение примет вид: $(b + a)(b - a)(b - a)$.

Сначала перемножим первые две скобки $(b + a)(b - a)$, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$:

$(b + a)(b - a) = b^2 - a^2$.

Теперь наше выражение выглядит так: $(b^2 - a^2)(b - a)$.

Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(b^2 - a^2)(b - a) = b^2 \cdot b + b^2 \cdot (-a) - a^2 \cdot b - a^2 \cdot (-a) = b^3 - ab^2 - a^2b + a^3$.

Ответ: $b^3 - ab^2 - a^2b + a^3$

б) Преобразуем выражение $(x + y)^2(y - x)$.

Запишем $(x+y)^2$ как $(x+y)(x+y)$.

Выражение примет вид: $(x + y)(x + y)(y - x)$.

Заметим, что $(x+y)$ и $(y-x)$ можно перегруппировать. Поскольку $(x+y) = (y+x)$, мы можем применить формулу разности квадратов к произведению $(y+x)(y-x)$:

$(y + x)(y - x) = y^2 - x^2$.

Теперь исходное выражение можно записать как: $(x + y)(y^2 - x^2)$.

Раскроем скобки:

$(x + y)(y^2 - x^2) = x \cdot y^2 + x \cdot (-x^2) + y \cdot y^2 + y \cdot (-x^2) = xy^2 - x^3 + y^3 - x^2y$.

Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены:

$y^3 - x^3 - x^2y + xy^2$.

Ответ: $y^3 - x^3 - x^2y + xy^2$

в) Преобразуем выражение $(a - 4)(a + 4)^2$.

Представим $(a + 4)^2$ как $(a + 4)(a + 4)$.

Выражение примет вид: $(a - 4)(a + 4)(a + 4)$.

Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям:

$(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$.

Теперь выражение выглядит так: $(a^2 - 16)(a + 4)$.

Раскроем скобки:

$(a^2 - 16)(a + 4) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot 4 - 16 \cdot a - 16 \cdot 4 = a^3 + 4a^2 - 16a - 64$.

Ответ: $a^3 + 4a^2 - 16a - 64$

г) Преобразуем выражение $(3p + 1)^2(1 - 3p)$.

Заметим, что $(1 - 3p) = -(3p - 1)$. Вынесем минус за скобки:

$(3p + 1)^2(1 - 3p) = -(3p + 1)^2(3p - 1)$.

Представим $(3p + 1)^2$ как $(3p + 1)(3p + 1)$:

$-(3p + 1)(3p + 1)(3p - 1)$.

Применим формулу разности квадратов к произведению $(3p + 1)(3p - 1)$:

$(3p + 1)(3p - 1) = (3p)^2 - 1^2 = 9p^2 - 1$.

Теперь выражение выглядит так: $-(3p + 1)(9p^2 - 1)$.

Сначала раскроем скобки, а затем учтем знак минуса:

$(3p + 1)(9p^2 - 1) = 3p \cdot 9p^2 + 3p \cdot (-1) + 1 \cdot 9p^2 + 1 \cdot (-1) = 27p^3 - 3p + 9p^2 - 1$.

Упорядочим члены: $27p^3 + 9p^2 - 3p - 1$.

Теперь применим знак минус ко всему выражению:

$-(27p^3 + 9p^2 - 3p - 1) = -27p^3 - 9p^2 + 3p + 1$.

Ответ: $-27p^3 - 9p^2 + 3p + 1$