Номер 874, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 874, страница 176.

Условие.

874. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.

1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.

2) Составьте выражение, обозначив через p одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через p наименьшее из чисел, а другому — среднее из чисел.

3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.

Утверждение гласит: сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа. Проверим это утверждение для последовательности чисел 19, 20, 21.

Среднее число в этой последовательности — 20.

Найдём произведение трёх чисел:
$19 \cdot 20 \cdot 21 = 380 \cdot 21 = 7980$.

Теперь найдём сумму этого произведения и среднего числа (20):
$7980 + 20 = 8000$.

Найдём куб среднего числа:
$20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$.

Сравнивая результаты, видим, что они равны: $8000 = 8000$.

Ответ: Утверждение подтверждено на примере, так как сумма произведения чисел и среднего из них $(19 \cdot 20 \cdot 21) + 20 = 8000$ равна кубу среднего числа $20^3 = 8000$.

2) Составьте выражение, обозначив через p одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения.

Докажем утверждение в общем виде, рассмотрев два случая, как предложено в задании.

Случай A: $p$ — наименьшее из трёх чисел.
В этом случае три последовательных числа: $p, p+1, p+2$. Среднее число — $p+1$.
Составим выражение для суммы произведения этих чисел и их среднего:
$p(p+1)(p+2) + (p+1)$.
Нам нужно доказать, что это выражение равно кубу среднего числа, то есть $(p+1)^3$.
Преобразуем левую часть выражения, вынеся за скобки общий множитель $(p+1)$:
$p(p+1)(p+2) + (p+1) = (p+1) \cdot [p(p+2) + 1] = (p+1) \cdot [p^2 + 2p + 1]$.
Выражение в квадратных скобках является полным квадратом суммы: $p^2 + 2p + 1 = (p+1)^2$.
Подставим его обратно в выражение:
$(p+1) \cdot (p+1)^2 = (p+1)^3$.
Таким образом, мы доказали тождество $(p+1)^3 = (p+1)^3$.

Случай Б: $p$ — среднее из трёх чисел.
В этом случае три последовательных числа: $p-1, p, p+1$. Среднее число — $p$.
Составим выражение для суммы произведения этих чисел и их среднего:
$(p-1)p(p+1) + p$.
Нам нужно доказать, что это выражение равно кубу среднего числа, то есть $p^3$.
Преобразуем левую часть выражения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(p-1)p(p+1) + p = p \cdot [(p-1)(p+1)] + p = p(p^2-1) + p$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$p^3 - p + p = p^3$.
Таким образом, мы доказали тождество $p^3 = p^3$.

Ответ: Утверждение доказано в общем виде. Если $p$ — наименьшее число, тождество имеет вид $p(p+1)(p+2) + (p+1) = (p+1)^3$. Если $p$ — среднее число, тождество имеет вид $(p-1)p(p+1) + p = p^3$.

3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

Оба алгебраических доказательства, приведенных в пункте 2, являются верными. Сравним их сложность.

Преобразование во втором случае (когда $p$ — среднее число) является более простым и элегантным. Оно использует стандартную и легко узнаваемую формулу разности квадратов, что приводит к очень быстрым вычислениям: $p(p^2-1)+p = p^3-p+p = p^3$. Преобразование требует всего нескольких шагов.

Преобразование в первом случае (когда $p$ — наименьшее число) требует больше шагов: вынесение общего множителя, раскрытие внутренних скобок и затем распознавание формулы полного квадрата. Хотя эти шаги не являются особо сложными, они более громоздки и требуют большей внимательности по сравнению со вторым методом.

Ответ: Оба преобразования верны. Вариант, в котором переменной $p$ обозначается среднее число, приводит к более простому, короткому и изящному решению.