Номер 878, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 878, страница 176.

Условие.

878. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

а) $1 - 4xy + 4x^2y^2$;

б) $\frac{1}{4}a^2b^2 + ab + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $1 - 4xy + 4x^2y^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

В данном выражении необходимо определить, какие слагаемые являются квадратами. Видим, что:

Первый член $1$ можно представить как $1^2$. Значит, $a = 1$.

Третий член $4x^2y^2$ можно представить как $(2xy)^2$. Значит, $b = 2xy$.

Далее проверим, равен ли средний член выражения $-4xy$ удвоенному произведению $a$ и $b$ со знаком минус, то есть $-2ab$.

Выполним вычисление: $-2ab = -2 \cdot 1 \cdot (2xy) = -4xy$.

Так как полученное значение совпадает со средним членом исходного выражения, мы можем применить формулу квадрата разности.

Таким образом, $1 - 4xy + 4x^2y^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (2xy) + (2xy)^2 = (1 - 2xy)^2$.

Ответ: $(1 - 2xy)^2$.

б) Чтобы представить выражение $\frac{1}{4}a^2b^2 + ab + 1$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

В данном выражении, как и в предыдущем, определим слагаемые, являющиеся квадратами. Видим, что:

Первый член $\frac{1}{4}a^2b^2$ можно представить как $(\frac{1}{2}ab)^2$. Значит, $a = \frac{1}{2}ab$.

Третий член $1$ можно представить как $1^2$. Значит, $b = 1$.

Далее проверим, равен ли средний член выражения $ab$ удвоенному произведению $a$ и $b$, то есть $2ab$.

Выполним вычисление: $2ab = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) \cdot 1 = ab$.

Так как полученное значение совпадает со средним членом исходного выражения, мы можем применить формулу квадрата суммы.

Таким образом, $\frac{1}{4}a^2b^2 + ab + 1 = (\frac{1}{2}ab)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) \cdot 1 + 1^2 = (\frac{1}{2}ab + 1)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}ab + 1)^2$.