Номер 879, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 879, страница 176.

Условие.

879. Докажите тождество:

а) $(a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2$;

б) $(a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2$;

в) $(x + 3)^3 + (x - 3)^3 = 2x^3 + 54x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$ (a+b)^2 - 4ab = (a^2+2ab+b^2) - 4ab $

Приведем подобные слагаемые:

$ a^2+2ab-4ab+b^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $.

Мы преобразовали левую часть тождества и получили его правую часть: $ (a-b)^2 = (a-b)^2 $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства этого тождества также преобразуем его левую часть. Используем формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $.

Подставим раскрытые скобки в левую часть равенства:

$ (a-b)^2 + 4ab = (a^2-2ab+b^2) + 4ab $

Приведем подобные слагаемые:

$ a^2-2ab+4ab+b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Данное выражение является формулой квадрата суммы: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $.

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой: $ (a+b)^2 = (a+b)^2 $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами куба суммы и куба разности.

Формула куба суммы: $ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $.

Формула куба разности: $ (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 $.

Применим эти формулы для выражений в левой части тождества:

$ (x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3+9x^2+27x+27 $

$ (x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3-9x^2+27x-27 $

Теперь сложим полученные многочлены:

$ (x+3)^3+(x-3)^3 = (x^3+9x^2+27x+27) + (x^3-9x^2+27x-27) $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Обратите внимание, что некоторые члены взаимно уничтожаются:

$ (x^3+x^3) + (9x^2-9x^2) + (27x+27x) + (27-27) = 2x^3 + 0 + 54x + 0 = 2x^3+54x $

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $ 2x^3+54x = 2x^3+54x $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.