Страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

874. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.

1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.

2) Составьте выражение, обозначив через p одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через p наименьшее из чисел, а другому — среднее из чисел.

3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.

Утверждение гласит: сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа. Проверим это утверждение для последовательности чисел 19, 20, 21.

Среднее число в этой последовательности — 20.

Найдём произведение трёх чисел:
$19 \cdot 20 \cdot 21 = 380 \cdot 21 = 7980$.

Теперь найдём сумму этого произведения и среднего числа (20):
$7980 + 20 = 8000$.

Найдём куб среднего числа:
$20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$.

Сравнивая результаты, видим, что они равны: $8000 = 8000$.

Ответ: Утверждение подтверждено на примере, так как сумма произведения чисел и среднего из них $(19 \cdot 20 \cdot 21) + 20 = 8000$ равна кубу среднего числа $20^3 = 8000$.

2) Составьте выражение, обозначив через p одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения.

Докажем утверждение в общем виде, рассмотрев два случая, как предложено в задании.

Случай A: $p$ — наименьшее из трёх чисел.
В этом случае три последовательных числа: $p, p+1, p+2$. Среднее число — $p+1$.
Составим выражение для суммы произведения этих чисел и их среднего:
$p(p+1)(p+2) + (p+1)$.
Нам нужно доказать, что это выражение равно кубу среднего числа, то есть $(p+1)^3$.
Преобразуем левую часть выражения, вынеся за скобки общий множитель $(p+1)$:
$p(p+1)(p+2) + (p+1) = (p+1) \cdot [p(p+2) + 1] = (p+1) \cdot [p^2 + 2p + 1]$.
Выражение в квадратных скобках является полным квадратом суммы: $p^2 + 2p + 1 = (p+1)^2$.
Подставим его обратно в выражение:
$(p+1) \cdot (p+1)^2 = (p+1)^3$.
Таким образом, мы доказали тождество $(p+1)^3 = (p+1)^3$.

Случай Б: $p$ — среднее из трёх чисел.
В этом случае три последовательных числа: $p-1, p, p+1$. Среднее число — $p$.
Составим выражение для суммы произведения этих чисел и их среднего:
$(p-1)p(p+1) + p$.
Нам нужно доказать, что это выражение равно кубу среднего числа, то есть $p^3$.
Преобразуем левую часть выражения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(p-1)p(p+1) + p = p \cdot [(p-1)(p+1)] + p = p(p^2-1) + p$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$p^3 - p + p = p^3$.
Таким образом, мы доказали тождество $p^3 = p^3$.

Ответ: Утверждение доказано в общем виде. Если $p$ — наименьшее число, тождество имеет вид $p(p+1)(p+2) + (p+1) = (p+1)^3$. Если $p$ — среднее число, тождество имеет вид $(p-1)p(p+1) + p = p^3$.

3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

Оба алгебраических доказательства, приведенных в пункте 2, являются верными. Сравним их сложность.

Преобразование во втором случае (когда $p$ — среднее число) является более простым и элегантным. Оно использует стандартную и легко узнаваемую формулу разности квадратов, что приводит к очень быстрым вычислениям: $p(p^2-1)+p = p^3-p+p = p^3$. Преобразование требует всего нескольких шагов.

Преобразование в первом случае (когда $p$ — наименьшее число) требует больше шагов: вынесение общего множителя, раскрытие внутренних скобок и затем распознавание формулы полного квадрата. Хотя эти шаги не являются особо сложными, они более громоздки и требуют большей внимательности по сравнению со вторым методом.

Ответ: Оба преобразования верны. Вариант, в котором переменной $p$ обозначается среднее число, приводит к более простому, короткому и изящному решению.

877. Найдите корень уравнения:

а) $(6x - 1)(6x + 1) - 4x(9x + 2) = -1;$

б) $(8 - 9a)a = -40 + (6 - 3a)(6 + 3a).$

а) $(6x - 1)(6x + 1) - 4x(9x + 2) = -1$

Для решения этого уравнения раскроем скобки. Выражение $(6x - 1)(6x + 1)$ является разностью квадратов, для него применима формула $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(6x)^2 - 1^2 - 4x(9x + 2) = -1$

Теперь раскроем вторую скобку, умножив $-4x$ на каждый член внутри нее.

$36x^2 - 1 - 4x \cdot 9x - 4x \cdot 2 = -1$

$36x^2 - 1 - 36x^2 - 8x = -1$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(36x^2 - 36x^2) - 8x - 1 = -1$

$-8x - 1 = -1$

Перенесем число $-1$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:

$-8x = -1 + 1$

$-8x = 0$

Разделим обе части уравнения на $-8$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{0}{-8}$

$x = 0$

Ответ: $0$.

б) $(8 - 9a)a = -40 + (6 - 3a)(6 + 3a)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части умножим $a$ на каждый член в скобках. В правой части выражение $(6 - 3a)(6 + 3a)$ является разностью квадратов $6^2 - (3a)^2$.

$8 \cdot a - 9a \cdot a = -40 + 6^2 - (3a)^2$

$8a - 9a^2 = -40 + 36 - 9a^2$

Упростим правую часть уравнения, сложив числа:

$8a - 9a^2 = -4 - 9a^2$

Перенесем слагаемое $-9a^2$ из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы сгруппировать члены с переменной.

$8a - 9a^2 + 9a^2 = -4$

$8a = -4$

Разделим обе части уравнения на $8$, чтобы найти $a$:

$a = \frac{-4}{8}$

Сократим дробь:

$a = -\frac{1}{2}$

Что в десятичном виде равно:

$a = -0.5$

Ответ: $-0.5$.

880. Разложите на множители:

а) $2abc^2 - 3ab^2c + 4a^2bc;$

б) $12a^2xy^3 - 6axy^5;$

в) $-15am^3n^4 - 20am^4n^6;$

г) $-28b^4c^5y + 16b^5c^6y^8.$

а) $2abc^2 - 3ab^2c + 4a^2bc$

Для того чтобы разложить данный многочлен на множители, необходимо найти общий множитель для всех его членов и вынести его за скобки. Этот процесс называется вынесением общего множителя за скобки.

1. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов: 2, -3, 4. НОД(2, 3, 4) = 1.

2. Затем найдем общие переменные и их наименьшие степени в каждом члене многочлена.

• Переменная $a$ присутствует во всех членах в степенях $a^1, a^1, a^2$. Наименьшая степень - 1, значит общий множитель содержит $a^1$ или просто $a$.
• Переменная $b$ присутствует во всех членах в степенях $b^1, b^2, b^1$. Наименьшая степень - 1, значит общий множитель содержит $b^1$ или просто $b$.
• Переменная $c$ присутствует во всех членах в степенях $c^2, c^1, c^1$. Наименьшая степень - 1, значит общий множитель содержит $c^1$ или просто $c$.

3. Таким образом, общий буквенный множитель - это произведение этих переменных в наименьших степенях: $abc$.

4. Теперь вынесем общий множитель $abc$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного многочлена на $abc$:

$\frac{2abc^2}{abc} = 2c$

$\frac{-3ab^2c}{abc} = -3b$

$\frac{4a^2bc}{abc} = 4a$

5. Запишем итоговое выражение в виде произведения общего множителя на многочлен, состоящий из результатов деления:

$2abc^2 - 3ab^2c + 4a^2bc = abc(2c - 3b + 4a)$

Ответ: $abc(2c - 3b + 4a)$.

б) $12a^2xy^3 - 6axy^5$

Найдем общий множитель для членов $12a^2xy^3$ и $-6axy^5$.

1. НОД коэффициентов 12 и 6 равен 6.

2. Определим общие переменные и их наименьшие степени:

• Для $a$: наименьшая степень из $a^2$ и $a^1$ это $a^1$.
• Для $x$: наименьшая степень из $x^1$ и $x^1$ это $x^1$.
• Для $y$: наименьшая степень из $y^3$ и $y^5$ это $y^3$.

3. Общий множитель равен произведению НОД коэффициентов и общих переменных в наименьших степенях: $6axy^3$.

4. Вынесем $6axy^3$ за скобки:

$12a^2xy^3 - 6axy^5 = 6axy^3 \cdot (\frac{12a^2xy^3}{6axy^3} - \frac{6axy^5}{6axy^3}) = 6axy^3(2a - y^2)$

Ответ: $6axy^3(2a - y^2)$.

в) $-15am^3n^4 - 20am^4n^6$

Найдем общий множитель для членов $-15am^3n^4$ и $-20am^4n^6$.

1. НОД коэффициентов 15 и 20 равен 5. Так как оба члена отрицательные, целесообразно вынести за скобки множитель с отрицательным знаком, то есть -5.

2. Определим общие переменные и их наименьшие степени:

• Для $a$: наименьшая степень из $a^1$ и $a^1$ это $a^1$.
• Для $m$: наименьшая степень из $m^3$ и $m^4$ это $m^3$.
• Для $n$: наименьшая степень из $n^4$ и $n^6$ это $n^4$.

3. Общий множитель: $-5am^3n^4$.

4. Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $-5am^3n^4$:

$-15am^3n^4 - 20am^4n^6 = -5am^3n^4 \cdot (\frac{-15am^3n^4}{-5am^3n^4} + \frac{-20am^4n^6}{-5am^3n^4}) = -5am^3n^4(3 + 4mn^2)$

Ответ: $-5am^3n^4(3 + 4mn^2)$.

г) $-28b^4c^5y + 16b^5c^6y^8$

Найдем общий множитель для членов $-28b^4c^5y$ и $16b^5c^6y^8$.

1. НОД коэффициентов 28 и 16 равен 4.

2. Определим общие переменные и их наименьшие степени:

• Для $b$: наименьшая степень из $b^4$ и $b^5$ это $b^4$.
• Для $c$: наименьшая степень из $c^5$ и $c^6$ это $c^5$.
• Для $y$: наименьшая степень из $y^1$ и $y^8$ это $y^1$.

3. Общий множитель: $4b^4c^5y$.

4. Вынесем его за скобки. Для удобства можно поменять члены местами, чтобы выражение в скобках начиналось с положительного члена:

$16b^5c^6y^8 - 28b^4c^5y = 4b^4c^5y \cdot (\frac{16b^5c^6y^8}{4b^4c^5y} - \frac{28b^4c^5y}{4b^4c^5y}) = 4b^4c^5y(4b^{5-4}c^{6-5}y^{8-1} - 7) = 4b^4c^5y(4bcy^7 - 7)$

Ответ: $4b^4c^5y(4bcy^7 - 7)$.

875. Упростите выражение:

а) $5a(a - 8) - 3(a + 2)(a - 2);$

б) $(1 - 4b)(4b + 1) + 6b(b - 2);$

в) $(8p - q)(q + 8p) - (p + q)(p - q);$

г) $(2x - 7y)(2x + 7y) + (2x - 7y)(7y - 2x).$

а) $5a(a - 8) - 3(a + 2)(a - 2)$

Для упрощения выражения сначала раскроем скобки. В выражении $(a + 2)(a - 2)$ применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.

$5a \cdot a - 5a \cdot 8 - 3(a^2 - 2^2) = 5a^2 - 40a - 3(a^2 - 4)$

Раскроем оставшиеся скобки и приведём подобные слагаемые:

$5a^2 - 40a - 3a^2 + 12 = (5a^2 - 3a^2) - 40a + 12 = 2a^2 - 40a + 12$.

Ответ: $2a^2 - 40a + 12$

б) $(1 - 4b)(4b + 1) + 6b(b - 2)$

Первое произведение $(1 - 4b)(4b + 1)$ является разностью квадратов $(1 - 4b)(1 + 4b)$, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Применим формулу: $1^2 - (4b)^2 = 1 - 16b^2$.

Второе слагаемое $6b(b - 2)$ раскроем, умножив $6b$ на каждый член в скобках: $6b^2 - 12b$.

Сложим полученные выражения и приведём подобные слагаемые:

$(1 - 16b^2) + (6b^2 - 12b) = 1 - 16b^2 + 6b^2 - 12b = -10b^2 - 12b + 1$.

Ответ: $-10b^2 - 12b + 1$

в) $(8p - q)(q + 8p) - (p + q)(p - q)$

Оба члена выражения представляют собой произведения, которые можно свернуть по формуле разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.

Первый член: $(8p - q)(q + 8p) = (8p - q)(8p + q) = (8p)^2 - q^2 = 64p^2 - q^2$.

Второй член: $(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$.

Вычтем второй результат из первого и приведём подобные слагаемые:

$(64p^2 - q^2) - (p^2 - q^2) = 64p^2 - q^2 - p^2 + q^2 = (64p^2 - p^2) + (-q^2 + q^2) = 63p^2$.

Ответ: $63p^2$

г) $(2x - 7y)(2x + 7y) + (2x - 7y)(7y - 2x)$

В этом выражении есть общий множитель $(2x - 7y)$, который можно вынести за скобки.

$(2x - 7y) \cdot ((2x + 7y) + (7y - 2x))$

Упростим выражение во второй (большой) скобке, приведя подобные слагаемые:

$2x + 7y + 7y - 2x = (2x - 2x) + (7y + 7y) = 14y$.

Теперь исходное выражение равно произведению $(2x - 7y) \cdot 14y$.

Раскроем скобки и получим окончательный ответ: $2x \cdot 14y - 7y \cdot 14y = 28xy - 98y^2$.

Ответ: $28xy - 98y^2$

878. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

а) $1 - 4xy + 4x^2y^2$;

б) $\frac{1}{4}a^2b^2 + ab + 1$.

а) Чтобы представить выражение $1 - 4xy + 4x^2y^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

В данном выражении необходимо определить, какие слагаемые являются квадратами. Видим, что:

Первый член $1$ можно представить как $1^2$. Значит, $a = 1$.

Третий член $4x^2y^2$ можно представить как $(2xy)^2$. Значит, $b = 2xy$.

Далее проверим, равен ли средний член выражения $-4xy$ удвоенному произведению $a$ и $b$ со знаком минус, то есть $-2ab$.

Выполним вычисление: $-2ab = -2 \cdot 1 \cdot (2xy) = -4xy$.

Так как полученное значение совпадает со средним членом исходного выражения, мы можем применить формулу квадрата разности.

Таким образом, $1 - 4xy + 4x^2y^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (2xy) + (2xy)^2 = (1 - 2xy)^2$.

Ответ: $(1 - 2xy)^2$.

б) Чтобы представить выражение $\frac{1}{4}a^2b^2 + ab + 1$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

В данном выражении, как и в предыдущем, определим слагаемые, являющиеся квадратами. Видим, что:

Первый член $\frac{1}{4}a^2b^2$ можно представить как $(\frac{1}{2}ab)^2$. Значит, $a = \frac{1}{2}ab$.

Третий член $1$ можно представить как $1^2$. Значит, $b = 1$.

Далее проверим, равен ли средний член выражения $ab$ удвоенному произведению $a$ и $b$, то есть $2ab$.

Выполним вычисление: $2ab = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) \cdot 1 = ab$.

Так как полученное значение совпадает со средним членом исходного выражения, мы можем применить формулу квадрата суммы.

Таким образом, $\frac{1}{4}a^2b^2 + ab + 1 = (\frac{1}{2}ab)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) \cdot 1 + 1^2 = (\frac{1}{2}ab + 1)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}ab + 1)^2$.

881. Решите уравнение:

a) $2x - \frac{x - 2}{2} = \frac{x}{3} - 6;$

б) $1 + \frac{x + 1}{3} = x - \frac{3x + 1}{8};$

в) $\frac{1 - y}{7} + y = \frac{y}{2} + 3;$

г) $6 = \frac{3x - 1}{2} \cdot 2,4;$

д) $0,69 = \frac{5 - 2y}{8} \cdot 13,8;$

е) $0,5 \cdot \frac{4 + 2x}{13} = x - 10.$

а) $2x - \frac{x - 2}{2} = \frac{x}{3} - 6$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6.

$6 \cdot (2x - \frac{x - 2}{2}) = 6 \cdot (\frac{x}{3} - 6)$

$12x - 3(x - 2) = 2x - 36$

Раскроем скобки:

$12x - 3x + 6 = 2x - 36$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x + 6 = 2x - 36$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$9x - 2x = -36 - 6$

$7x = -42$

Найдем $x$:

$x = \frac{-42}{7}$

$x = -6$

Ответ: -6

б) $1 + \frac{x + 1}{3} = x - \frac{3x + 1}{8}$

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 8, то есть на 24.

$24 \cdot (1 + \frac{x + 1}{3}) = 24 \cdot (x - \frac{3x + 1}{8})$

$24 \cdot 1 + 24 \cdot \frac{x + 1}{3} = 24 \cdot x - 24 \cdot \frac{3x + 1}{8}$

$24 + 8(x + 1) = 24x - 3(3x + 1)$

Раскроем скобки:

$24 + 8x + 8 = 24x - 9x - 3$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$32 + 8x = 15x - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$32 + 3 = 15x - 8x$

$35 = 7x$

Найдем $x$:

$x = \frac{35}{7}$

$x = 5$

Ответ: 5

в) $\frac{1 - y}{7} + y = \frac{y}{2} + 3$

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 7 и 2, то есть на 14.

$14 \cdot (\frac{1 - y}{7} + y) = 14 \cdot (\frac{y}{2} + 3)$

$14 \cdot \frac{1 - y}{7} + 14 \cdot y = 14 \cdot \frac{y}{2} + 14 \cdot 3$

$2(1 - y) + 14y = 7y + 42$

Раскроем скобки:

$2 - 2y + 14y = 7y + 42$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2 + 12y = 7y + 42$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$12y - 7y = 42 - 2$

$5y = 40$

Найдем $y$:

$y = \frac{40}{5}$

$y = 8$

Ответ: 8

г) $6 = \frac{3x - 1}{2} \cdot 2,4$

Упростим правую часть уравнения, разделив 2,4 на 2:

$6 = (3x - 1) \cdot \frac{2,4}{2}$

$6 = (3x - 1) \cdot 1,2$

Разделим обе части уравнения на 1,2:

$\frac{6}{1,2} = 3x - 1$

$\frac{60}{12} = 3x - 1$

$5 = 3x - 1$

Перенесем -1 в левую часть:

$5 + 1 = 3x$

$6 = 3x$

Найдем $x$:

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

Ответ: 2

д) $0,69 = \frac{5 - 2y}{8} \cdot 13,8$

Разделим обе части уравнения на 13,8:

$\frac{0,69}{13,8} = \frac{5 - 2y}{8}$

Вычислим значение дроби в левой части:

$\frac{0,69}{13,8} = \frac{69}{1380} = \frac{1}{20} = 0,05$

Теперь уравнение имеет вид:

$0,05 = \frac{5 - 2y}{8}$

Умножим обе части на 8:

$0,05 \cdot 8 = 5 - 2y$

$0,4 = 5 - 2y$

Перенесем слагаемое с переменной $y$ в левую часть, а число — в правую:

$2y = 5 - 0,4$

$2y = 4,6$

Найдем $y$:

$y = \frac{4,6}{2}$

$y = 2,3$

Ответ: 2,3

е) $0,5 \cdot \frac{4 + 2x}{13} = x - 10$

Заменим 0,5 на дробь $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 + 2x}{13} = x - 10$

Выполним умножение в левой части:

$\frac{4 + 2x}{26} = x - 10$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$\frac{2(2 + x)}{26} = x - 10$

$\frac{2 + x}{13} = x - 10$

Умножим обе части уравнения на 13, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 + x = 13(x - 10)$

Раскроем скобки в правой части:

$2 + x = 13x - 130$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$2 + 130 = 13x - x$

$132 = 12x$

Найдем $x$:

$x = \frac{132}{12}$

$x = 11$

Ответ: 11

876. Решите уравнение:

а) $8m(1 + 2m) - (4m + 3)(4m - 3) = 2m;$

б) $x - 3x(1 - 12x) = 11 - (5 - 6x)(6x + 5).$

а) Решим уравнение $8m(1 + 2m) - (4m + 3)(4m - 3) = 2m$.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого слагаемого применим распределительный закон умножения: $8m(1 + 2m) = 8m \cdot 1 + 8m \cdot 2m = 8m + 16m^2$.
Второе слагаемое $(4m + 3)(4m - 3)$ является произведением суммы и разности двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=4m$ и $b=3$:
$(4m + 3)(4m - 3) = (4m)^2 - 3^2 = 16m^2 - 9$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$8m + 16m^2 - (16m^2 - 9) = 2m$.
Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные, так как перед скобками стоит знак минус:
$8m + 16m^2 - 16m^2 + 9 = 2m$.
Приведем подобные слагаемые в левой части. Члены $16m^2$ и $-16m^2$ взаимно уничтожаются:
$8m + 9 = 2m$.
Перенесем слагаемые с переменной $m$ в левую часть, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки:
$8m - 2m = -9$.
$6m = -9$.
Чтобы найти $m$, разделим обе части уравнения на 6:
$m = \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2} = -1.5$.
Ответ: $-1.5$.

б) Решим уравнение $x - 3x(1 - 12x) = 11 - (5 - 6x)(6x + 5)$.
Сначала преобразуем левую часть, раскрыв скобки:
$x - (3x \cdot 1 - 3x \cdot 12x) = x - (3x - 36x^2) = x - 3x + 36x^2 = -2x + 36x^2$.
Теперь преобразуем правую часть. Произведение $(5 - 6x)(6x + 5)$ можно переписать как $(5 - 6x)(5 + 6x)$ и применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=5$ и $b=6x$:
$(5 - 6x)(5 + 6x) = 5^2 - (6x)^2 = 25 - 36x^2$.
Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:
$-2x + 36x^2 = 11 - (25 - 36x^2)$.
Раскроем скобки в правой части, учитывая знак минус:
$-2x + 36x^2 = 11 - 25 + 36x^2$.
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$-2x + 36x^2 = -14 + 36x^2$.
Теперь перенесем член $36x^2$ из правой части в левую. Он сократится с членом $36x^2$ в левой части (или, что то же самое, вычтем $36x^2$ из обеих частей уравнения):
$-2x = -14$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -2:
$x = \frac{-14}{-2} = 7$.
Ответ: $7$.

879. Докажите тождество:

а) $(a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2$;

б) $(a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2$;

в) $(x + 3)^3 + (x - 3)^3 = 2x^3 + 54x.$

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$ (a+b)^2 - 4ab = (a^2+2ab+b^2) - 4ab $

Приведем подобные слагаемые:

$ a^2+2ab-4ab+b^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $.

Мы преобразовали левую часть тождества и получили его правую часть: $ (a-b)^2 = (a-b)^2 $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства этого тождества также преобразуем его левую часть. Используем формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $.

Подставим раскрытые скобки в левую часть равенства:

$ (a-b)^2 + 4ab = (a^2-2ab+b^2) + 4ab $

Приведем подобные слагаемые:

$ a^2-2ab+4ab+b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Данное выражение является формулой квадрата суммы: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $.

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой: $ (a+b)^2 = (a+b)^2 $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами куба суммы и куба разности.

Формула куба суммы: $ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $.

Формула куба разности: $ (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 $.

Применим эти формулы для выражений в левой части тождества:

$ (x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3+9x^2+27x+27 $

$ (x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3-9x^2+27x-27 $

Теперь сложим полученные многочлены:

$ (x+3)^3+(x-3)^3 = (x^3+9x^2+27x+27) + (x^3-9x^2+27x-27) $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Обратите внимание, что некоторые члены взаимно уничтожаются:

$ (x^3+x^3) + (9x^2-9x^2) + (27x+27x) + (27-27) = 2x^3 + 0 + 54x + 0 = 2x^3+54x $

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $ 2x^3+54x = 2x^3+54x $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.