Страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

859. Представьте в виде многочлена:

а) $(3x^2 - 1)(3x^2 + 1)$;

б) $(5a - b^3)(b^3 + 5a)$;

в) $(\frac{3}{7}m^3 + \frac{1}{4}n^3)(\frac{3}{7}m^3 - \frac{1}{4}n^3)$;

г) $(\frac{1}{15} - \frac{1}{8}p^6)(\frac{1}{8}p^6 + \frac{1}{15})$;

д) $(0.4y^3 + 5a^2)(5a^2 - 0.4y^3)$;

е) $(1.2c^2 - 7a^2)(1.2c^2 + 7a^2)$;

ж) $(\frac{5}{8}x + y^5)(y^5 - \frac{5}{8}x)$;

з) $(\frac{1}{7}p^5 - 0.01)(0.01 + \frac{1}{7}p^5)$.

а) Чтобы представить выражение $(3x^2 - 1)(3x^2 + 1)$ в виде многочлена, используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном примере $a = 3x^2$, а $b = 1$.
Применяем формулу:
$(3x^2 - 1)(3x^2 + 1) = (3x^2)^2 - 1^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 - 1 = 9x^4 - 1$.
Ответ: $9x^4 - 1$.

б) В выражении $(5a - b^3)(b^3 + 5a)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы оно соответствовало формуле разности квадратов: $(5a - b^3)(5a + b^3)$. Здесь $a = 5a$, а $b = b^3$.
Применяем формулу:
$(5a - b^3)(5a + b^3) = (5a)^2 - (b^3)^2 = 25a^2 - b^6$.
Ответ: $25a^2 - b^6$.

в) Выражение $(\frac{3}{7}m^3 + \frac{1}{4}n^3)(\frac{3}{7}m^3 - \frac{1}{4}n^3)$ уже представлено в виде $(a + b)(a - b)$. Здесь $a = \frac{3}{7}m^3$, а $b = \frac{1}{4}n^3$.
Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2$:
$(\frac{3}{7}m^3)^2 - (\frac{1}{4}n^3)^2 = \frac{3^2}{7^2}(m^3)^2 - \frac{1^2}{4^2}(n^3)^2 = \frac{9}{49}m^6 - \frac{1}{16}n^6$.
Ответ: $\frac{9}{49}m^6 - \frac{1}{16}n^6$.

г) Переставим слагаемые во второй скобке в выражении $(\frac{1}{15} - \frac{1}{8}p^6)(\frac{1}{8}p^6 + \frac{1}{15})$, чтобы получить вид $(a-b)(a+b)$: $(\frac{1}{15} - \frac{1}{8}p^6)(\frac{1}{15} + \frac{1}{8}p^6)$. Здесь $a = \frac{1}{15}$, а $b = \frac{1}{8}p^6$.
Применяем формулу:
$(\frac{1}{15})^2 - (\frac{1}{8}p^6)^2 = \frac{1}{225} - \frac{1^2}{8^2}(p^6)^2 = \frac{1}{225} - \frac{1}{64}p^{12}$.
Ответ: $\frac{1}{225} - \frac{1}{64}p^{12}$.

д) Для удобства применения формулы разности квадратов переставим слагаемые в первой скобке выражения $(0,4y^3 + 5a^2)(5a^2 - 0,4y^3)$: $(5a^2 + 0,4y^3)(5a^2 - 0,4y^3)$. Здесь $a = 5a^2$, а $b = 0,4y^3$.
Применяем формулу:
$(5a^2)^2 - (0,4y^3)^2 = 25(a^2)^2 - 0,16(y^3)^2 = 25a^4 - 0,16y^6$.
Ответ: $25a^4 - 0,16y^6$.

е) Выражение $(1,2c^2 - 7a^2)(1,2c^2 + 7a^2)$ является произведением разности и суммы. Используем формулу разности квадратов, где $a = 1,2c^2$ и $b = 7a^2$.
Применяем формулу:
$(1,2c^2)^2 - (7a^2)^2 = 1,44(c^2)^2 - 49(a^2)^2 = 1,44c^4 - 49a^4$.
Ответ: $1,44c^4 - 49a^4$.

ж) Преобразуем выражение $(\frac{5}{8}x + y^5)(y^5 - \frac{5}{8}x)$, поменяв слагаемые в первой скобке местами: $(y^5 + \frac{5}{8}x)(y^5 - \frac{5}{8}x)$. Теперь оно соответствует виду $(a+b)(a-b)$, где $a = y^5$ и $b = \frac{5}{8}x$.
Применяем формулу:
$(y^5)^2 - (\frac{5}{8}x)^2 = y^{10} - \frac{5^2}{8^2}x^2 = y^{10} - \frac{25}{64}x^2$.
Ответ: $y^{10} - \frac{25}{64}x^2$.

з) В выражении $(\frac{1}{7}p^5 - 0,01)(0,01 + \frac{1}{7}p^5)$ поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(\frac{1}{7}p^5 - 0,01)(\frac{1}{7}p^5 + 0,01)$. Используем формулу разности квадратов, где $a = \frac{1}{7}p^5$ и $b = 0,01$.
Применяем формулу:
$(\frac{1}{7}p^5)^2 - (0,01)^2 = \frac{1}{49}(p^5)^2 - 0,0001 = \frac{1}{49}p^{10} - 0,0001$.
Ответ: $\frac{1}{49}p^{10} - 0,0001$.

862. Представьте выражение в виде многочлена, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:

а) $(-y + x)(x + y)$;

б) $(-a + b)(b - a)$;

в) $(-b - c)(b - c)$;

г) $(x + y)(-x - y)$;

д) $(x - y)(y - x)$;

е) $(-a - b)(-a - b)$.

а) Чтобы представить выражение $(-y + x)(x + y)$ в виде многочлена, сначала поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(-y + x) = (x - y)$. Таким образом, исходное выражение примет вид $(x - y)(x + y)$.
Это соответствует формуле разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a = x$ и $b = y$.
Применяя формулу, получаем: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Ответ: $x^2 - y^2$

б) В выражении $(-a + b)(b - a)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(-a + b) = (b - a)$.
Теперь выражение выглядит как $(b - a)(b - a)$, что является квадратом разности $(b - a)^2$.
Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = b$ и $y = a$.
Следовательно, $(b - a)^2 = b^2 - 2ba + a^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Ответ: $a^2 - 2ab + b^2$

в) В выражении $(-b - c)(b - c)$ вынесем минус за скобки в первом множителе: $(-b - c) = -(b + c)$.
Выражение примет вид $-(b + c)(b - c)$.
Произведение $(b + c)(b - c)$ является формулой разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = b$ и $b = c$.
Таким образом, $(b + c)(b - c) = b^2 - c^2$.
Теперь учтем вынесенный минус: $-(b^2 - c^2) = -b^2 + c^2 = c^2 - b^2$.
Ответ: $c^2 - b^2$

г) В выражении $(x + y)(-x - y)$ вынесем минус за скобки во втором множителе: $(-x - y) = -(x + y)$.
Выражение преобразуется в $(x + y)(-(x + y))$, что равно $-(x + y)^2$.
Это квадрат суммы, взятый с противоположным знаком. Используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = x$ и $b = y$, поэтому $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Применяем знак минус: $-(x^2 + 2xy + y^2) = -x^2 - 2xy - y^2$.
Ответ: $-x^2 - 2xy - y^2$

д) В выражении $(x - y)(y - x)$ вынесем минус за скобки во втором множителе: $(y - x) = -(x - y)$.
Выражение примет вид $(x - y)(-(x - y))$, что равно $-(x - y)^2$.
Это квадрат разности, взятый с противоположным знаком. Используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = x$ и $b = y$, поэтому $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Применяем знак минус: $-(x^2 - 2xy + y^2) = -x^2 + 2xy - y^2$.
Ответ: $-x^2 + 2xy - y^2$

е) Выражение $(-a - b)(-a - b)$ можно записать как $(-a - b)^2$.
Вынесем минус из скобки: $(-a - b) = -(a + b)$.
Тогда $(-a - b)^2 = (-(a + b))^2 = (a + b)^2$, так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного.
Теперь используем формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = a$ и $y = b$.
Следовательно, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$

857. Представьте в виде многочлена произведение:

а) $(x^2 - 5)(x^2 + 5)$;

б) $(4 + y^2)(y^2 - 4)$;

в) $(9a - b^2)(b^2 + 9a)$;

г) $(0,7x + y^2)(0,7x - y^2)$;

д) $(10p^2 - 0,3q^2)(10p^2 + 0,3q^2)$;

е) $(a^3 - b^2)(a^3 + b^2)$;

ж) $(c^4 + d^2)(d^2 - c^4)$;

з) $(5x^2 + 2y^3)(5x^2 - 2y^3)$;

и) $(1,4c - 0,7y^3)(0,7y^3 + 1,4c)$;

к) $(1,3a^5 - 0,1b^4)(1,3a^5 + 0,1b^4)$.

Все представленные произведения являются примерами формулы сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Мы применим эту формулу для каждого случая.

а) Дано произведение $(x^2 - 5)(x^2 + 5)$.

Здесь $a = x^2$ и $b = 5$. Применяем формулу разности квадратов:

$(x^2 - 5)(x^2 + 5) = (x^2)^2 - 5^2 = x^4 - 25$.

Ответ: $x^4 - 25$.

б) Дано произведение $(4 + y^2)(y^2 - 4)$.

Переставим слагаемые в первой скобке, чтобы привести к стандартному виду: $(y^2 + 4)(y^2 - 4)$. Здесь $a = y^2$ и $b = 4$.

$(y^2 + 4)(y^2 - 4) = (y^2)^2 - 4^2 = y^4 - 16$.

Ответ: $y^4 - 16$.

в) Дано произведение $(9a - b^2)(b^2 + 9a)$.

Переставим слагаемые во второй скобке: $(9a - b^2)(9a + b^2)$. Здесь $a = 9a$ и $b = b^2$.

$(9a - b^2)(9a + b^2) = (9a)^2 - (b^2)^2 = 81a^2 - b^4$.

Ответ: $81a^2 - b^4$.

г) Дано произведение $(0,7x + y^2)(0,7x - y^2)$.

Здесь $a = 0,7x$ и $b = y^2$.

$(0,7x + y^2)(0,7x - y^2) = (0,7x)^2 - (y^2)^2 = 0,49x^2 - y^4$.

Ответ: $0,49x^2 - y^4$.

д) Дано произведение $(10p^2 - 0,3q^2)(10p^2 + 0,3q^2)$.

Здесь $a = 10p^2$ и $b = 0,3q^2$.

$(10p^2 - 0,3q^2)(10p^2 + 0,3q^2) = (10p^2)^2 - (0,3q^2)^2 = 100p^4 - 0,09q^4$.

Ответ: $100p^4 - 0,09q^4$.

е) Дано произведение $(a^3 - b^2)(a^3 + b^2)$.

Здесь $a = a^3$ и $b = b^2$.

$(a^3 - b^2)(a^3 + b^2) = (a^3)^2 - (b^2)^2 = a^6 - b^4$.

Ответ: $a^6 - b^4$.

ж) Дано произведение $(c^4 + d^2)(d^2 - c^4)$.

Переставим слагаемые в первой скобке: $(d^2 + c^4)(d^2 - c^4)$. Здесь $a = d^2$ и $b = c^4$.

$(d^2 + c^4)(d^2 - c^4) = (d^2)^2 - (c^4)^2 = d^4 - c^8$.

Ответ: $d^4 - c^8$.

з) Дано произведение $(5x^2 + 2y^3)(5x^2 - 2y^3)$.

Здесь $a = 5x^2$ и $b = 2y^3$.

$(5x^2 + 2y^3)(5x^2 - 2y^3) = (5x^2)^2 - (2y^3)^2 = 25x^4 - 4y^6$.

Ответ: $25x^4 - 4y^6$.

и) Дано произведение $(1,4c - 0,7y^3)(0,7y^3 + 1,4c)$.

Переставим слагаемые во второй скобке: $(1,4c - 0,7y^3)(1,4c + 0,7y^3)$. Здесь $a = 1,4c$ и $b = 0,7y^3$.

$(1,4c - 0,7y^3)(1,4c + 0,7y^3) = (1,4c)^2 - (0,7y^3)^2 = 1,96c^2 - 0,49y^6$.

Ответ: $1,96c^2 - 0,49y^6$.

к) Дано произведение $(1,3a^5 - 0,1b^4)(1,3a^5 + 0,1b^4)$.

Здесь $a = 1,3a^5$ и $b = 0,1b^4$.

$(1,3a^5 - 0,1b^4)(1,3a^5 + 0,1b^4) = (1,3a^5)^2 - (0,1b^4)^2 = 1,69a^{10} - 0,01b^8$.

Ответ: $1,69a^{10} - 0,01b^8$.

860. Найдите значение выражения:

а) $(100 - 1)(100 + 1);$

б) $(80 + 3)(80 - 3);$

в) $64 \cdot 56;$

г) $201 \cdot 199;$

д) $74 \cdot 66;$

е) $1002 \cdot 998;$

ж) $1,05 \cdot 0,95;$

з) $60,1 \cdot 59,9.$

Для решения всех пунктов используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

а) В выражении $(100 - 1)(100 + 1)$ уже видна структура формулы, где $a = 100$ и $b = 1$.

$(100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999$.

Ответ: 9999

б) В выражении $(80 + 3)(80 - 3)$ также применяем формулу разности квадратов, где $a = 80$ и $b = 3$.

$(80 + 3)(80 - 3) = 80^2 - 3^2 = 6400 - 9 = 6391$.

Ответ: 6391

в) Чтобы вычислить произведение $64 \cdot 56$, представим множители в виде суммы и разности. Для этого найдем их среднее арифметическое: $a = (64 + 56) / 2 = 60$. Разность от среднего: $b = 64 - 60 = 4$.

Тогда $64 = 60 + 4$ и $56 = 60 - 4$.

$64 \cdot 56 = (60 + 4)(60 - 4) = 60^2 - 4^2 = 3600 - 16 = 3584$.

Ответ: 3584

г) Для произведения $201 \cdot 199$ представим множители как $201 = 200 + 1$ и $199 = 200 - 1$.

$201 \cdot 199 = (200 + 1)(200 - 1) = 200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999$.

Ответ: 39999

д) Для произведения $74 \cdot 66$ найдем среднее арифметическое: $a = (74 + 66) / 2 = 70$. Разность от среднего: $b = 74 - 70 = 4$.

Значит, $74 = 70 + 4$ и $66 = 70 - 4$.

$74 \cdot 66 = (70 + 4)(70 - 4) = 70^2 - 4^2 = 4900 - 16 = 4884$.

Ответ: 4884

е) Для произведения $1002 \cdot 998$ представим множители как $1002 = 1000 + 2$ и $998 = 1000 - 2$.

$1002 \cdot 998 = (1000 + 2)(1000 - 2) = 1000^2 - 2^2 = 1000000 - 4 = 999996$.

Ответ: 999996

ж) Для произведения $1,05 \cdot 0,95$ представим множители как $1,05 = 1 + 0,05$ и $0,95 = 1 - 0,05$.

$1,05 \cdot 0,95 = (1 + 0,05)(1 - 0,05) = 1^2 - (0,05)^2 = 1 - 0,0025 = 0,9975$.

Ответ: 0,9975

з) Для произведения $60,1 \cdot 59,9$ представим множители как $60,1 = 60 + 0,1$ и $59,9 = 60 - 0,1$.

$60,1 \cdot 59,9 = (60 + 0,1)(60 - 0,1) = 60^2 - (0,1)^2 = 3600 - 0,01 = 3599,99$.

Ответ: 3599,99

863. Представьте в виде многочлена:

a) $(-3xy + a)(3xy + a)$;

б) $(-1 - 2a^2b)(1 - 2a^2b)$;

в) $(12a^3 - 7x)(-12a^3 - 7x)$;

г) $(-10p^4 + 9)(9 - 10p^4)$;

д) $(0.2x + 10y)(10y - 0.2x)$;

е) $(1.1y - 0.3)(0.3 + 1.1y)$.

а) Чтобы представить выражение $(-3xy + a)(3xy + a)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой разности квадратов $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$. Для этого поменяем слагаемые в первой скобке местами: $(-3xy + a) = (a - 3xy)$. Вторую скобку можно представить как $(a + 3xy)$.

Получаем выражение: $(a - 3xy)(a + 3xy)$.

Применяем формулу разности квадратов, где $u=a$ и $v=3xy$:

$(a)^2 - (3xy)^2 = a^2 - 3^2x^2y^2 = a^2 - 9x^2y^2$.

Ответ: $a^2 - 9x^2y^2$.

б) Рассмотрим выражение $(-1 - 2a^2b)(1 - 2a^2b)$. Чтобы применить формулу разности квадратов, вынесем знак минус из первой скобки: $(-1 - 2a^2b) = -(1 + 2a^2b)$.

Теперь выражение имеет вид: $-(1 + 2a^2b)(1 - 2a^2b)$.

Произведение $(1 + 2a^2b)(1 - 2a^2b)$ является разностью квадратов, где $u=1$ и $v=2a^2b$:

$1^2 - (2a^2b)^2 = 1 - 4a^4b^2$.

Учтем знак минус перед всем выражением:

$-(1 - 4a^4b^2) = -1 + 4a^4b^2$.

Представим многочлен в стандартном виде: $4a^4b^2 - 1$.

Ответ: $4a^4b^2 - 1$.

в) Рассмотрим выражение $(12a^3 - 7x)(-12a^3 - 7x)$. Сгруппируем слагаемые во второй скобке: $(-12a^3 - 7x) = (-7x - 12a^3)$. Теперь перегруппируем слагаемые в первой скобке, чтобы было удобнее: $(12a^3 - 7x) = (-7x + 12a^3)$.

Выражение принимает вид: $(-7x + 12a^3)(-7x - 12a^3)$.

Это формула разности квадратов $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$, где $u=-7x$ и $v=12a^3$:

$(-7x)^2 - (12a^3)^2 = 49x^2 - 144a^6$.

Ответ: $49x^2 - 144a^6$.

г) В выражении $(-10p^4 + 9)(9 - 10p^4)$ поменяем слагаемые в первой скобке местами: $(-10p^4 + 9) = (9 - 10p^4)$.

Получаем произведение двух одинаковых выражений: $(9 - 10p^4)(9 - 10p^4) = (9 - 10p^4)^2$.

Воспользуемся формулой квадрата разности $(u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$, где $u=9$ и $v=10p^4$:

$9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 10p^4 + (10p^4)^2 = 81 - 180p^4 + 100p^8$.

Запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной):

$100p^8 - 180p^4 + 81$.

Ответ: $100p^8 - 180p^4 + 81$.

д) Рассмотрим выражение $(0,2x + 10y)(10y - 0,2x)$. Переставим слагаемые в первой скобке: $(0,2x + 10y) = (10y + 0,2x)$.

Выражение принимает вид: $(10y + 0,2x)(10y - 0,2x)$.

Это формула разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$, где $u=10y$ и $v=0,2x$:

$(10y)^2 - (0,2x)^2 = 100y^2 - 0,04x^2$.

Ответ: $100y^2 - 0,04x^2$.

е) В выражении $(1,1y - 0,3)(0,3 + 1,1y)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(0,3 + 1,1y) = (1,1y + 0,3)$.

Выражение принимает вид: $(1,1y - 0,3)(1,1y + 0,3)$.

Это формула разности квадратов $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$, где $u=1,1y$ и $v=0,3$:

$(1,1y)^2 - (0,3)^2 = 1,1^2 \cdot y^2 - 0,3^2 = 1,21y^2 - 0,09$.

Ответ: $1,21y^2 - 0,09$.

858. Впишите вместо знака * одночлен так, чтобы получилось тождество:

а) $(2a + *)(2a - *) = 4a^2 - b^2;$

б) $(* - 3x)(* + 3x) = 16y^2 - 9x^2;$

в) $(* - b^4)(b^4 + *) = 121a^{10} - b^8;$

г) $m^4 - 225c^{10} = (m^2 - *)(* + m^2).$

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

а) В выражении $(2a + *)(2a - *) = 4a^2 - b^2$ левая часть представляет собой произведение суммы и разности. Согласно формуле разности квадратов, оно равно $(2a)^2 - (*)^2 = 4a^2 - (*)^2$.
Приравниваем это к правой части тождества: $4a^2 - (*)^2 = 4a^2 - b^2$.
Отсюда следует, что $(*)^2 = b^2$.
Значит, вместо знака $*$ нужно вписать одночлен $b$.
Проверка: $(2a+b)(2a-b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Ответ: $b$.

б) В выражении $(* - 3x)(* + 3x) = 16y^2 - 9x^2$ левая часть также является произведением разности и суммы. По формуле она равна $(*)^2 - (3x)^2 = (*)^2 - 9x^2$.
Приравниваем левую и правую части тождества: $(*)^2 - 9x^2 = 16y^2 - 9x^2$.
Отсюда получаем $(*)^2 = 16y^2$.
Возводим в корень и находим, что $*$ - это одночлен $4y$, так как $(4y)^2 = 16y^2$.
Проверка: $(4y-3x)(4y+3x) = (4y)^2 - (3x)^2 = 16y^2 - 9x^2$.
Ответ: $4y$.

в) В выражении $(* - b^4)(b^4 + *) = 121a^{10} - b^8$ поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(* - b^4)(* + b^4)$.
Применяем формулу разности квадратов: $(*)^2 - (b^4)^2 = (*)^2 - b^8$.
Приравниваем полученное выражение к правой части тождества: $(*)^2 - b^8 = 121a^{10} - b^8$.
Отсюда $(*)^2 = 121a^{10}$.
Чтобы найти *, извлечем квадратный корень: $* = \sqrt{121a^{10}} = 11a^5$.
Проверка: $(11a^5 - b^4)(11a^5 + b^4) = (11a^5)^2 - (b^4)^2 = 121a^{10} - b^8$.
Ответ: $11a^5$.

г) В тождестве $m^4 - 225c^{10} = (m^2 - *)(* + m^2)$ нам нужно разложить левую часть по формуле разности квадратов.
Представим $m^4$ как $(m^2)^2$ и $225c^{10}$ как $(15c^5)^2$.
Тогда $m^4 - 225c^{10} = (m^2)^2 - (15c^5)^2 = (m^2 - 15c^5)(m^2 + 15c^5)$.
Сравним это с правой частью исходного выражения: $(m^2 - *)(m^2 + *)$.
Очевидно, что одночлен, который нужно вписать вместо *, это $15c^5$.
Проверка: $(m^2 - 15c^5)(15c^5 + m^2) = (m^2 - 15c^5)(m^2 + 15c^5) = (m^2)^2 - (15c^5)^2 = m^4 - 225c^{10}$.
Ответ: $15c^5$.

861. Найдите значение произведения:

а) $52 \cdot 48;$

б) $37 \cdot 43;$

в) $6,01 \cdot 5,99;$

г) $2,03 \cdot 1,97;$

д) $17,3 \cdot 16,7;$

е) $29,8 \cdot 30,2;$

ж) $9,7 \cdot 10,3;$

з) $50,2 \cdot 49,8;$

и) $4,6 \cdot 5,4.$

Для решения данных примеров воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Эта формула позволяет удобно и быстро вычислять произведения чисел, которые симметричны относительно некоторого среднего значения.

а) Представим множители $52$ и $48$ в виде суммы и разности одного и того же числа. Средним значением является $(52+48)/2 = 50$.
Число $52$ можно записать как $(50 + 2)$, а число $48$ как $(50 - 2)$.
Тогда произведение $52 \cdot 48$ можно представить как $(50 + 2)(50 - 2)$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a = 50$ и $b = 2$:
$52 \cdot 48 = (50 + 2)(50 - 2) = 50^2 - 2^2 = 2500 - 4 = 2496$.
Ответ: 2496.

б) Представим множители $37$ и $43$. Среднее арифметическое для них равно $(37+43)/2 = 40$.
Число $37$ можно записать как $(40 - 3)$, а число $43$ как $(40 + 3)$.
Тогда произведение $37 \cdot 43$ равно $(40 - 3)(40 + 3)$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a = 40$ и $b = 3$:
$37 \cdot 43 = (40 - 3)(40 + 3) = 40^2 - 3^2 = 1600 - 9 = 1591$.
Ответ: 1591.

в) Представим множители $6,01$ и $5,99$. Среднее значение равно $(6,01+5,99)/2 = 6$.
Число $6,01$ можно записать как $(6 + 0,01)$, а число $5,99$ как $(6 - 0,01)$.
Тогда произведение $6,01 \cdot 5,99$ равно $(6 + 0,01)(6 - 0,01)$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a = 6$ и $b = 0,01$:
$6,01 \cdot 5,99 = (6 + 0,01)(6 - 0,01) = 6^2 - (0,01)^2 = 36 - 0,0001 = 35,9999$.
Ответ: 35,9999.

г) Представим множители $2,03$ и $1,97$. Среднее значение равно $(2,03+1,97)/2 = 2$.
Число $2,03$ можно записать как $(2 + 0,03)$, а число $1,97$ как $(2 - 0,03)$.
Тогда произведение $2,03 \cdot 1,97$ равно $(2 + 0,03)(2 - 0,03)$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a = 2$ и $b = 0,03$:
$2,03 \cdot 1,97 = (2 + 0,03)(2 - 0,03) = 2^2 - (0,03)^2 = 4 - 0,0009 = 3,9991$.
Ответ: 3,9991.

д) Представим множители $17,3$ и $16,7$. Среднее значение равно $(17,3+16,7)/2 = 17$.
Число $17,3$ можно записать как $(17 + 0,3)$, а число $16,7$ как $(17 - 0,3)$.
Тогда произведение $17,3 \cdot 16,7$ равно $(17 + 0,3)(17 - 0,3)$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a = 17$ и $b = 0,3$:
$17,3 \cdot 16,7 = (17 + 0,3)(17 - 0,3) = 17^2 - (0,3)^2 = 289 - 0,09 = 288,91$.
Ответ: 288,91.

е) Представим множители $29,8$ и $30,2$. Среднее значение равно $(29,8+30,2)/2 = 30$.
Число $29,8$ можно записать как $(30 - 0,2)$, а число $30,2$ как $(30 + 0,2)$.
Тогда произведение $29,8 \cdot 30,2$ равно $(30 - 0,2)(30 + 0,2)$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a = 30$ и $b = 0,2$:
$29,8 \cdot 30,2 = (30 - 0,2)(30 + 0,2) = 30^2 - (0,2)^2 = 900 - 0,04 = 899,96$.
Ответ: 899,96.

ж) Представим множители $9,7$ и $10,3$. Среднее значение равно $(9,7+10,3)/2 = 10$.
Число $9,7$ можно записать как $(10 - 0,3)$, а число $10,3$ как $(10 + 0,3)$.
Тогда произведение $9,7 \cdot 10,3$ равно $(10 - 0,3)(10 + 0,3)$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a = 10$ и $b = 0,3$:
$9,7 \cdot 10,3 = (10 - 0,3)(10 + 0,3) = 10^2 - (0,3)^2 = 100 - 0,09 = 99,91$.
Ответ: 99,91.

з) Представим множители $50,2$ и $49,8$. Среднее значение равно $(50,2+49,8)/2 = 50$.
Число $50,2$ можно записать как $(50 + 0,2)$, а число $49,8$ как $(50 - 0,2)$.
Тогда произведение $50,2 \cdot 49,8$ равно $(50 + 0,2)(50 - 0,2)$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a = 50$ и $b = 0,2$:
$50,2 \cdot 49,8 = (50 + 0,2)(50 - 0,2) = 50^2 - (0,2)^2 = 2500 - 0,04 = 2499,96$.
Ответ: 2499,96.

и) Представим множители $4,6$ и $5,4$. Среднее значение равно $(4,6+5,4)/2 = 5$.
Число $4,6$ можно записать как $(5 - 0,4)$, а число $5,4$ как $(5 + 0,4)$.
Тогда произведение $4,6 \cdot 5,4$ равно $(5 - 0,4)(5 + 0,4)$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a = 5$ и $b = 0,4$:
$4,6 \cdot 5,4 = (5 - 0,4)(5 + 0,4) = 5^2 - (0,4)^2 = 25 - 0,16 = 24,84$.
Ответ: 24,84.

864. Выполните умножение:

а) $(-m^2 + 8)(m^2 + 8)$;

б) $(5y - y^2)(y^2 + 5y)$;

в) $(6n^2 + 1)(-6n^2 + 1)$;

г) $(-7ab - 0,2)(0,2 - 7ab)$.

а) Чтобы выполнить умножение, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Для этого поменяем местами слагаемые в первом множителе, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы:

$(-m^2 + 8)(m^2 + 8) = (8 - m^2)(8 + m^2)$

В данном случае $a = 8$ и $b = m^2$. Применяя формулу, получаем:

$8^2 - (m^2)^2 = 64 - m^4$

Ответ: $64 - m^4$.

б) В данном примере также можно применить формулу разности квадратов. Переставим слагаемые во втором множителе, чтобы сделать соответствие формуле более очевидным:

$(5y - y^2)(y^2 + 5y) = (5y - y^2)(5y + y^2)$

В этом выражении $a = 5y$ и $b = y^2$. Подставим в формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

$(5y)^2 - (y^2)^2 = 25y^2 - y^4$

Ответ: $25y^2 - y^4$.

в) Приведем выражение к виду $(a + b)(a - b)$, поменяв слагаемые местами в обеих скобках:

$(6n^2 + 1)(-6n^2 + 1) = (1 + 6n^2)(1 - 6n^2)$

Используем формулу разности квадратов, где $a = 1$ и $b = 6n^2$:

$1^2 - (6n^2)^2 = 1 - 36n^4$

Ответ: $1 - 36n^4$.

г) Для решения этого примера преобразуем исходное выражение. Вынесем знак минус из каждой скобки:

$(-7ab - 0,2)(0,2 - 7ab) = -(7ab + 0,2) \cdot (-(7ab - 0,2))$

Произведение двух отрицательных множителей равно произведению соответствующих положительных множителей, поэтому знаки минус сокращаются:

$(7ab + 0,2)(7ab - 0,2)$

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = 7ab$ и $b = 0,2$:

$(7ab)^2 - (0,2)^2 = 49a^2b^2 - 0,04$

Ответ: $49a^2b^2 - 0,04$.