Страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

907. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:

а) $8x^3 - 1$;

б) $1 + 27y^3$;

в) $8 - \frac{1}{8}a^3$;

г) $\frac{1}{64}m^3 + 1000$;

д) $125a^3 - 64b^3$;

е) $\frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $8x^3 - 1$, сначала представим его в виде разности кубов. Так как $8x^3 = (2x)^3$ и $1 = 1^3$, то выражение можно записать как $(2x)^3 - 1^3$. Далее воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где в нашем случае $a = 2x$ и $b = 1$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $(2x - 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$.

Ответ: $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$

б) Представим выражение $1 + 27y^3$ в виде суммы кубов. Поскольку $1 = 1^3$ и $27y^3 = (3y)^3$, выражение можно переписать как $1^3 + (3y)^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 1$ и $b = 3y$. Подстановка дает: $(1 + 3y)(1^2 - (1)(3y) + (3y)^2) = (1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2)$.

Ответ: $(1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2)$

в) Выражение $8 - \frac{1}{8}a^3$ необходимо представить в виде разности кубов. Заметим, что $8 = 2^3$ и $\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$. Таким образом, получаем $2^3 - (\frac{1}{2}a)^3$. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 2$ и $b = \frac{1}{2}a$. Получаем: $(2 - \frac{1}{2}a)(2^2 + (2)(\frac{1}{2}a) + (\frac{1}{2}a)^2) = (2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2)$.

Ответ: $(2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2)$

г) Представим выражение $\frac{1}{64}m^3 + 1000$ в виде суммы кубов. Так как $\frac{1}{64}m^3 = (\frac{1}{4}m)^3$ и $1000 = 10^3$, имеем $(\frac{1}{4}m)^3 + 10^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ при $a = \frac{1}{4}m$ и $b = 10$. Получаем: $(\frac{1}{4}m + 10)((\frac{1}{4}m)^2 - (\frac{1}{4}m)(10) + 10^2) = (\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{10}{4}m + 100) = (\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{5}{2}m + 100)$.

Ответ: $(\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{5}{2}m + 100)$

д) Выражение $125a^3 - 64b^3$ представим как разность кубов. $125a^3 = (5a)^3$ и $64b^3 = (4b)^3$, значит, выражение равно $(5a)^3 - (4b)^3$. Применяя формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = 5a$ и $y = 4b$, получаем: $(5a - 4b)((5a)^2 + (5a)(4b) + (4b)^2) = (5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)$.

Ответ: $(5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)$

е) Представим $\frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3$ в виде суммы кубов. Поскольку $\frac{1}{27}x^3 = (\frac{1}{3}x)^3$ и $\frac{1}{125}y^3 = (\frac{1}{5}y)^3$, выражение можно переписать как $(\frac{1}{3}x)^3 + (\frac{1}{5}y)^3$. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \frac{1}{3}x$ и $b = \frac{1}{5}y$. Подставляя, получаем: $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)((\frac{1}{3}x)^2 - (\frac{1}{3}x)(\frac{1}{5}y) + (\frac{1}{5}y)^2) = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2)$

905. Разложите на множители многочлен:

а) $x^3 + y^3$;

б) $m^3 - n^3$;

в) $8 + a^3$;

г) $27 - y^3$;

д) $t^3 + 1$;

е) $1 - c^3$.

а) Для разложения многочлена $x^3 + y^3$ на множители используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном случае переменные в формуле соответствуют переменным в выражении, поэтому мы можем применить формулу напрямую.
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

б) Для разложения многочлена $m^3 - n^3$ на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Аналогично предыдущему пункту, просто подставляем переменные в формулу.
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.
Ответ: $(m - n)(m^2 + mn + n^2)$

в) В выражении $8 + a^3$ необходимо сначала представить число 8 в виде куба. Мы знаем, что $2^3 = 8$. Таким образом, выражение можно переписать как $2^3 + a^3$. Теперь мы можем применить формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где в роли $a$ выступает 2, а в роли $b$ — переменная $a$.
$8 + a^3 = 2^3 + a^3 = (2 + a)(2^2 - 2 \cdot a + a^2) = (2 + a)(4 - 2a + a^2)$.
Ответ: $(2 + a)(4 - 2a + a^2)$

г) В выражении $27 - y^3$ представим число 27 в виде куба: $3^3 = 27$. Выражение принимает вид $3^3 - y^3$. Теперь применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 3$ и $b = y$.
$27 - y^3 = 3^3 - y^3 = (3 - y)(3^2 + 3 \cdot y + y^2) = (3 - y)(9 + 3y + y^2)$.
Ответ: $(3 - y)(9 + 3y + y^2)$

д) В многочлене $t^3 + 1$ число 1 можно представить как $1^3$. Таким образом, мы получаем сумму кубов $t^3 + 1^3$. Применяем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = t$ и $b = 1$.
$t^3 + 1 = t^3 + 1^3 = (t + 1)(t^2 - t \cdot 1 + 1^2) = (t + 1)(t^2 - t + 1)$.
Ответ: $(t + 1)(t^2 - t + 1)$

е) В выражении $1 - c^3$ число 1 можно представить как $1^3$, что дает нам разность кубов $1^3 - c^3$. Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 1$ и $b = c$.
$1 - c^3 = 1^3 - c^3 = (1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (1 - c)(1 + c + c^2)$.
Ответ: $(1 - c)(1 + c + c^2)$

908. Разложите на множители:

а) $8 - m^3;$

б) $c^3 + 27;$

в) $64x^3 + 1;$

г) $1 - \frac{1}{8}p^3;$

д) $m^3 - 27n^3;$

е) $\frac{1}{8}a^3 + b^3.$

а) $8 - m^3$

Для разложения данного выражения на множители воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Сначала представим число $8$ как куб числа $2$, то есть $8 = 2^3$.

Теперь выражение принимает вид: $2^3 - m^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 2$ и $b = m$:

$2^3 - m^3 = (2 - m)(2^2 + 2 \cdot m + m^2) = (2 - m)(4 + 2m + m^2)$.

Ответ: $(2 - m)(4 + 2m + m^2)$.

б) $c^3 + 27$

Для разложения данного выражения на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим число $27$ как куб числа $3$, то есть $27 = 3^3$.

Теперь выражение принимает вид: $c^3 + 3^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = c$ и $b = 3$:

$c^3 + 3^3 = (c + 3)(c^2 - c \cdot 3 + 3^2) = (c + 3)(c^2 - 3c + 9)$.

Ответ: $(c + 3)(c^2 - 3c + 9)$.

в) $64x^3 + 1$

Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим $64x^3$ как $(4x)^3$ и $1$ как $1^3$. Выражение примет вид $(4x)^3 + 1^3$.

Применим формулу, где $a = 4x$ и $b = 1$:

$(4x)^3 + 1^3 = (4x + 1)((4x)^2 - 4x \cdot 1 + 1^2) = (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$.

Ответ: $(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$.

г) $1 - \frac{1}{8}p^3$

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим $1$ как $1^3$ и $\frac{1}{8}p^3$ как $(\frac{1}{2}p)^3$. Выражение примет вид $1^3 - (\frac{1}{2}p)^3$.

Применим формулу, где $a = 1$ и $b = \frac{1}{2}p$:

$1^3 - (\frac{1}{2}p)^3 = (1 - \frac{1}{2}p)(1^2 + 1 \cdot \frac{1}{2}p + (\frac{1}{2}p)^2) = (1 - \frac{1}{2}p)(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2)$.

Ответ: $(1 - \frac{1}{2}p)(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2)$.

д) $m^3 - 27n^3$

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим $27n^3$ как $(3n)^3$. Выражение примет вид $m^3 - (3n)^3$.

Применим формулу, где $a = m$ и $b = 3n$:

$m^3 - (3n)^3 = (m - 3n)(m^2 + m \cdot 3n + (3n)^2) = (m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2)$.

Ответ: $(m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2)$.

е) $\frac{1}{8}a^3 + b^3$

Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим $\frac{1}{8}a^3$ как $(\frac{1}{2}a)^3$. Выражение примет вид $(\frac{1}{2}a)^3 + b^3$.

Применим формулу, где в качестве $a$ выступает $\frac{1}{2}a$, а в качестве $b$ выступает $b$:

$(\frac{1}{2}a)^3 + b^3 = (\frac{1}{2}a + b)((\frac{1}{2}a)^2 - \frac{1}{2}a \cdot b + b^2) = (\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.

906. Примените формулу суммы кубов или формулу разности кубов:

а) $c^3 - d^3$;

б) $p^3 + q^3$;

в) $x^3 - 64$;

г) $125 + a^3$;

д) $y^3 - 1$;

е) $1 + b^3$.

а) Для разложения выражения $c^3 - d^3$ на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном случае $a = c$ и $b = d$.
Применяя формулу, получаем: $c^3 - d^3 = (c - d)(c^2 + c \cdot d + d^2) = (c - d)(c^2 + cd + d^2)$.
Ответ: $(c - d)(c^2 + cd + d^2)$.

б) Для разложения выражения $p^3 + q^3$ на множители используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном случае $a = p$ и $b = q$.
Применяя формулу, получаем: $p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 - p \cdot q + q^2) = (p + q)(p^2 - pq + q^2)$.
Ответ: $(p + q)(p^2 - pq + q^2)$.

в) Выражение $x^3 - 64$ является разностью кубов. Сначала представим число 64 как куб другого числа: $64 = 4^3$.
Теперь выражение выглядит как $x^3 - 4^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x$ и $b = 4$.
$x^3 - 4^3 = (x - 4)(x^2 + x \cdot 4 + 4^2) = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)$.
Ответ: $(x - 4)(x^2 + 4x + 16)$.

г) Выражение $125 + a^3$ является суммой кубов. Сначала представим число 125 как куб другого числа: $125 = 5^3$.
Теперь выражение выглядит как $5^3 + a^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = 5$ и $y = a$.
$5^3 + a^3 = (5 + a)(5^2 - 5 \cdot a + a^2) = (5 + a)(25 - 5a + a^2)$.
Ответ: $(5 + a)(25 - 5a + a^2)$.

д) Выражение $y^3 - 1$ является разностью кубов. Представим число 1 как куб: $1 = 1^3$.
Теперь выражение выглядит как $y^3 - 1^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = y$ и $b = 1$.
$y^3 - 1^3 = (y - 1)(y^2 + y \cdot 1 + 1^2) = (y - 1)(y^2 + y + 1)$.
Ответ: $(y - 1)(y^2 + y + 1)$.

е) Выражение $1 + b^3$ является суммой кубов. Представим число 1 как куб: $1 = 1^3$.
Теперь выражение выглядит как $1^3 + b^3$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 1$ и $b = b$.
$1^3 + b^3 = (1 + b)(1^2 - 1 \cdot b + b^2) = (1 + b)(1 - b + b^2)$.
Ответ: $(1 + b)(1 - b + b^2)$.