Страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

932. От деревни до станции велосипедист ехал со скоростью $15 \text{ км/ч}$, а обратно он возвращался со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Найдите расстояние от деревни до станции, если известно, что на обратный путь велосипедист затратил на $1 \text{ ч}$ больше, чем на путь от деревни до станции.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $S$ — искомое расстояние от деревни до станции в километрах.

Время движения можно найти по формуле $t = S/v$, где $t$ — время, $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Скорость велосипедиста на пути от деревни до станции составляет $v_1 = 15$ км/ч. Время, затраченное на этот путь, равно:
$t_1 = S / 15$ ч.

Скорость на обратном пути от станции до деревни составляет $v_2 = 10$ км/ч. Время, затраченное на обратный путь, равно:
$t_2 = S / 10$ ч.

Согласно условию, на обратный путь велосипедист затратил на 1 час больше. Это означает, что разница между временем обратного пути и временем пути до станции равна 1 часу:
$t_2 - t_1 = 1$

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:
$S/10 - S/15 = 1$

Теперь решим полученное уравнение. Найдем общий знаменатель для дробей. Наименьшее общее кратное для чисел 10 и 15 — это 30.
Умножим левую и правую части уравнения на 30, чтобы избавиться от дробей:
$30 \cdot (S/10) - 30 \cdot (S/15) = 30 \cdot 1$
$3S - 2S = 30$

Упростим левую часть:
$S = 30$

Таким образом, расстояние от деревни до станции составляет 30 км.

Сделаем проверку:
Время на путь до станции: $t_1 = 30 \text{ км} / 15 \text{ км/ч} = 2$ часа.
Время на обратный путь: $t_2 = 30 \text{ км} / 10 \text{ км/ч} = 3$ часа.
Разница во времени: $3 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: 30 км.

933. Из пункта A связной доставил донесение в пункт B за 30 мин. На обратном пути он уменьшил скорость на 1 км/ч и затратил на дорогу 36 мин. Определите, с какой скоростью шёл связной из пункта A в пункт B.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $v$ (в км/ч) — это искомая скорость связного на пути из пункта А в пункт В.

Время, которое связной затратил на путь из А в В, составляет $t_1 = 30$ минут.
На обратном пути из В в А его скорость была на 1 км/ч меньше, то есть $(v - 1)$ км/ч, а время в пути составило $t_2 = 36$ минут.

Поскольку скорость выражена в км/ч, необходимо перевести время из минут в часы:
$t_1 = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$
$t_2 = 36 \text{ мин} = \frac{36}{60} \text{ ч} = 0.6 \text{ ч}$

Расстояние $S$ между пунктами А и В постоянно. Его можно выразить через скорость и время для каждого направления движения, используя формулу $S = \text{скорость} \times \text{время}$.
Расстояние на пути из А в В: $S = v \cdot t_1 = v \cdot 0.5$
Расстояние на пути из В в А: $S = (v - 1) \cdot t_2 = (v - 1) \cdot 0.6$

Так как расстояние в обе стороны одинаковое, мы можем приравнять полученные выражения:
$0.5 \cdot v = 0.6 \cdot (v - 1)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $v$:
$0.5v = 0.6v - 0.6$
Перенесем члены с переменной $v$ в одну сторону уравнения, а свободные члены — в другую:
$0.6 = 0.6v - 0.5v$
$0.6 = 0.1v$
$v = \frac{0.6}{0.1}$
$v = 6$

Таким образом, скорость, с которой связной шёл из пункта А в пункт В, составляет 6 км/ч.

Проверка:
1. Находим расстояние из А в В при скорости 6 км/ч: $S = 6 \text{ км/ч} \cdot 0.5 \text{ ч} = 3$ км.
2. Скорость на обратном пути: $6 - 1 = 5$ км/ч.
3. Находим расстояние из В в А при скорости 5 км/ч: $S = 5 \text{ км/ч} \cdot 0.6 \text{ ч} = 3$ км.
Поскольку расстояния равны, задача решена верно.

Ответ: 6 км/ч.