Страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

904. Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью $4 \text{ км/ч}$, то опоздает к поезду на полчаса, а если он будет идти со скоростью $5 \text{ км/ч}$, то придёт на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?

Пусть искомое расстояние до железнодорожной станции равно $S$ километров.

Время, которое турист затратит на путь, идя со скоростью $v_1 = 4 \text{ км/ч}$, составляет $t_1 = S/v_1 = S/4$ часа.

Время, которое турист затратит на путь, идя со скоростью $v_2 = 5 \text{ км/ч}$, составляет $t_2 = S/v_2 = S/5$ часа.

В первом случае турист опаздывает на полчаса (30 минут), а во втором — приходит на 6 минут раньше. Это значит, что разница во времени между первым и вторым случаем составляет $30 + 6 = 36$ минут.

Переведем разницу во времени в часы, чтобы единицы измерения были согласованы со скоростью (км/ч):
$36 \text{ минут} = \frac{36}{60} \text{ часа} = 0.6 \text{ часа}$.

Разница во времени $t_1 - t_2$ как раз и равна этой величине. Составим уравнение:
$t_1 - t_2 = 0.6$
$\frac{S}{4} - \frac{S}{5} = 0.6$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 — это 20.
$\frac{5S}{20} - \frac{4S}{20} = 0.6$
$\frac{5S - 4S}{20} = 0.6$
$\frac{S}{20} = 0.6$

Теперь найдем $S$:
$S = 0.6 \times 20$
$S = 12$

Следовательно, расстояние, которое должен пройти турист, составляет 12 км.

Ответ: 12 км.

902. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена или выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) $0,25x^2 - 0,6xy + 0,3y^2$;

б) $-a^2 + 0,6a - 0,09$;

в) $\frac{9}{16} a^4 + a^3 + \frac{4}{9} a^2$;

г) $-16m^2 - 24mn - 9n^2$.

а) В данном выражении, вероятно, допущена опечатка, так как многочлен $0,25x^2 - 0,6xy + 0,3y^2$ не является полным квадратом. Чтобы многочлен был полным квадратом, удвоенное произведение корней из первого и третьего членов должно быть равно второму члену. Для $0,3y^2$ это условие не выполняется. Если предположить, что третий член равен $0,36y^2$, то условие полного квадрата выполняется: $2 \cdot \sqrt{0,25x^2} \cdot \sqrt{0,36y^2} = 2 \cdot 0,5x \cdot 0,6y = 0,6xy$.
Решим задачу для исправленного выражения: $0,25x^2 - 0,6xy + 0,36y^2$.
Воспользуемся формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$ для нашего выражения:
$A^2 = 0,25x^2$, откуда $A = 0,5x$.
$B^2 = 0,36y^2$, откуда $B = 0,6y$.
Средний член $2AB = 2 \cdot 0,5x \cdot 0,6y = 0,6xy$ соответствует заданному (с учетом знака).
Таким образом, $0,25x^2 - 0,6xy + 0,36y^2 = (0,5x - 0,6y)^2$.
Ответ: Для исходного выражения представить его в требуемом виде невозможно. Для исправленного выражения ответ: $(0,5x - 0,6y)^2$.

б) Для многочлена $-a^2 + 0,6a - 0,09$ сначала вынесем знак минус за скобки:
$-a^2 + 0,6a - 0,09 = -(a^2 - 0,6a + 0,09)$.
Теперь проанализируем выражение в скобках, используя формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$:
$A^2 = a^2$, откуда $A=a$.
$B^2 = 0,09$, откуда $B=0,3$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot a \cdot 0,3 = 0,6a$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности.
$a^2 - 0,6a + 0,09 = (a - 0,3)^2$.
Следовательно, исходный многочлен можно записать как выражение, противоположное квадрату двучлена.
Ответ: $-(a - 0,3)^2$.

в) Рассмотрим многочлен $\frac{9}{16}a^4 + a^3 + \frac{4}{9}a^2$.
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$ для нашего выражения:
$A^2 = \frac{9}{16}a^4$, откуда $A = \frac{3}{4}a^2$.
$B^2 = \frac{4}{9}a^2$, откуда $B = \frac{2}{3}a$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot (\frac{3}{4}a^2) \cdot (\frac{2}{3}a) = 2 \cdot \frac{6}{12}a^3 = a^3$.
Все члены соответствуют формуле, следовательно, многочлен является полным квадратом суммы.
$\frac{9}{16}a^4 + a^3 + \frac{4}{9}a^2 = (\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}a)^2$.
Ответ: $(\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}a)^2$.

г) Для многочлена $-16m^2 - 24mn - 9n^2$ все члены отрицательны. Вынесем знак минус за скобки:
$-16m^2 - 24mn - 9n^2 = -(16m^2 + 24mn + 9n^2)$.
Теперь преобразуем выражение в скобках, используя формулу квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$:
$A^2 = 16m^2$, откуда $A=4m$.
$B^2 = 9n^2$, откуда $B=3n$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot 4m \cdot 3n = 24mn$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы.
$16m^2 + 24mn + 9n^2 = (4m + 3n)^2$.
Следовательно, исходный многочлен можно записать как выражение, противоположное квадрату двучлена.
Ответ: $-(4m + 3n)^2$.

903. Решите уравнение:

а) $(5x - 1)(2x + 1) - 10x^2 = 0,8;$

б) $18x^2 - (9x + 2)(2x - 1) = 1.$

а) $(5x - 1)(2x + 1) - 10x^2 = 0,8$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки, выполнив умножение многочленов:

$(5x \cdot 2x + 5x \cdot 1 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 1) - 10x^2 = 0,8$

Выполним вычисления в скобках:

$(10x^2 + 5x - 2x - 1) - 10x^2 = 0,8$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$10x^2 + 3x - 1 - 10x^2 = 0,8$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Слагаемые $10x^2$ и $-10x^2$ взаимно уничтожаются:

$(10x^2 - 10x^2) + 3x - 1 = 0,8$

$3x - 1 = 0,8$

Мы получили простое линейное уравнение. Перенесем $-1$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$3x = 0,8 + 1$

$3x = 1,8$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{1,8}{3}$

$x = 0,6$

Ответ: $x = 0,6$.

б) $18x^2 - (9x + 2)(2x - 1) = 1$

Сначала раскроем скобки, перемножив многочлены:

$18x^2 - (9x \cdot 2x + 9x \cdot (-1) + 2 \cdot 2x + 2 \cdot (-1)) = 1$

Выполним вычисления в скобках:

$18x^2 - (18x^2 - 9x + 4x - 2) = 1$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$18x^2 - (18x^2 - 5x - 2) = 1$

Теперь раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$18x^2 - 18x^2 + 5x + 2 = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Слагаемые $18x^2$ и $-18x^2$ взаимно уничтожаются:

$(18x^2 - 18x^2) + 5x + 2 = 1$

$5x + 2 = 1$

Мы получили простое линейное уравнение. Перенесем $2$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$5x = 1 - 2$

$5x = -1$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = -\frac{1}{5}$

Представим дробь в виде десятичного числа:

$x = -0,2$

Ответ: $x = -0,2$.