Страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

883. Разложите на множители многочлен:

а) $x^2 - y^2$;

б) $c^2 - z^2$;

в) $a^2 - 25$;

г) $m^2 - 1$;

д) $16 - b^2$;

е) $100 - x^2$;

ж) $p^2 - 400$;

з) $y^2 - 0,09$;

и) $1,44 - a^2$;

к) $b^2 - \frac{4}{9}$;

л) $\frac{9}{16} - n^2$;

м) $\frac{25}{49} - p^2$.

Для решения всех заданий используется формула сокращенного умножения, называемая "разность квадратов":

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Суть метода заключается в том, чтобы представить каждый многочлен в виде разности двух квадратов и затем применить эту формулу.

а) Многочлен $x^2 - y^2$ уже представлен в виде разности квадратов, где $a = x$ и $b = y$. Применяем формулу:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Ответ: $(x - y)(x + y)$

б) Многочлен $c^2 - z^2$ также является разностью квадратов. Здесь $a = c$ и $b = z$. Применяем формулу:
$c^2 - z^2 = (c - z)(c + z)$.
Ответ: $(c - z)(c + z)$

в) В многочлене $a^2 - 25$ представим число $25$ как квадрат числа $5$, то есть $25 = 5^2$. Выражение принимает вид $a^2 - 5^2$. Здесь $a = a$ и $b = 5$.
$a^2 - 25 = a^2 - 5^2 = (a - 5)(a + 5)$.
Ответ: $(a - 5)(a + 5)$

г) В многочлене $m^2 - 1$ представим число $1$ как $1^2$. Выражение принимает вид $m^2 - 1^2$. Здесь $a = m$ и $b = 1$.
$m^2 - 1 = m^2 - 1^2 = (m - 1)(m + 1)$.
Ответ: $(m - 1)(m + 1)$

д) В многочлене $16 - b^2$ представим число $16$ как $4^2$. Выражение принимает вид $4^2 - b^2$. Здесь $a = 4$ и $b = b$.
$16 - b^2 = 4^2 - b^2 = (4 - b)(4 + b)$.
Ответ: $(4 - b)(4 + b)$

е) В многочлене $100 - x^2$ представим число $100$ как $10^2$. Выражение принимает вид $10^2 - x^2$. Здесь $a = 10$ и $b = x$.
$100 - x^2 = 10^2 - x^2 = (10 - x)(10 + x)$.
Ответ: $(10 - x)(10 + x)$

ж) В многочлене $p^2 - 400$ представим число $400$ как $20^2$. Выражение принимает вид $p^2 - 20^2$. Здесь $a = p$ и $b = 20$.
$p^2 - 400 = p^2 - 20^2 = (p - 20)(p + 20)$.
Ответ: $(p - 20)(p + 20)$

з) В многочлене $y^2 - 0,09$ представим число $0,09$ как $(0,3)^2$. Выражение принимает вид $y^2 - (0,3)^2$. Здесь $a = y$ и $b = 0,3$.
$y^2 - 0,09 = y^2 - (0,3)^2 = (y - 0,3)(y + 0,3)$.
Ответ: $(y - 0,3)(y + 0,3)$

и) В многочлене $1,44 - a^2$ представим число $1,44$ как $(1,2)^2$. Выражение принимает вид $(1,2)^2 - a^2$. Здесь первый член равен $1,2$, а второй — $a$.
$1,44 - a^2 = (1,2)^2 - a^2 = (1,2 - a)(1,2 + a)$.
Ответ: $(1,2 - a)(1,2 + a)$

к) В многочлене $b^2 - \frac{4}{9}$ представим дробь $\frac{4}{9}$ как квадрат дроби $\frac{2}{3}$, то есть $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$. Выражение принимает вид $b^2 - (\frac{2}{3})^2$. Здесь $a = b$ и $b = \frac{2}{3}$.
$b^2 - \frac{4}{9} = b^2 - (\frac{2}{3})^2 = (b - \frac{2}{3})(b + \frac{2}{3})$.
Ответ: $(b - \frac{2}{3})(b + \frac{2}{3})$

л) В многочлене $\frac{9}{16} - n^2$ представим дробь $\frac{9}{16}$ как $(\frac{3}{4})^2$. Выражение принимает вид $(\frac{3}{4})^2 - n^2$. Здесь $a = \frac{3}{4}$ и $b = n$.
$\frac{9}{16} - n^2 = (\frac{3}{4})^2 - n^2 = (\frac{3}{4} - n)(\frac{3}{4} + n)$.
Ответ: $(\frac{3}{4} - n)(\frac{3}{4} + n)$

м) В многочлене $\frac{25}{49} - p^2$ представим дробь $\frac{25}{49}$ как $(\frac{5}{7})^2$. Выражение принимает вид $(\frac{5}{7})^2 - p^2$. Здесь $a = \frac{5}{7}$ и $b = p$.
$\frac{25}{49} - p^2 = (\frac{5}{7})^2 - p^2 = (\frac{5}{7} - p)(\frac{5}{7} + p)$.
Ответ: $(\frac{5}{7} - p)(\frac{5}{7} + p)$

882. Со станций $M$ и $N$, расстояние между которыми $380$ км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции $N$, была больше скорости другого поезда на $5$ км/ч. Через $2$ ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи $30$ км. Найдите скорость поездов.

Для решения задачи составим уравнение. Пусть скорость поезда, отправившегося со станции М, равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость поезда, отправившегося со станции N, равна $(x + 5)$ км/ч.

Поезда двигались навстречу друг другу в течение 2 часов. За это время первый поезд (из М) прошел расстояние $S_M = 2 \cdot x$ км, а второй поезд (из N) прошел расстояние $S_N = 2 \cdot (x + 5)$ км.

Изначально расстояние между станциями было 380 км. Через 2 часа между поездами осталось 30 км. Это означает, что суммарное расстояние, которое они преодолели, составляет разницу между начальным и конечным расстояниями:

$S_{общ} = 380 - 30 = 350$ км.

Суммарное расстояние также равно сумме расстояний, пройденных каждым поездом. Составим уравнение:

$S_M + S_N = 350$

$2x + 2(x + 5) = 350$

Решим это уравнение:

$2x + 2x + 10 = 350$

$4x + 10 = 350$

$4x = 350 - 10$

$4x = 340$

$x = \frac{340}{4}$

$x = 85$

Таким образом, скорость поезда, отправившегося со станции М, составляет 85 км/ч.

Теперь найдем скорость второго поезда, отправившегося со станции N:

$x + 5 = 85 + 5 = 90$ км/ч.

Ответ: скорость одного поезда 85 км/ч, а скорость другого поезда — 90 км/ч.