Страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

853. Преобразуйте в многочлен выражение:

а) $(3 + a)^3$;

б) $(x - 2)^3$.

а) Для преобразования выражения $(3 + a)^3$ в многочлен воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба суммы: $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.
В нашем выражении $A = 3$ и $B = a$. Подставим эти значения в формулу:
$(3 + a)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot a + 3 \cdot 3 \cdot a^2 + a^3$
Теперь выполним вычисления для каждого члена многочлена:
$3^3 = 27$
$3 \cdot 3^2 \cdot a = 3 \cdot 9 \cdot a = 27a$
$3 \cdot 3 \cdot a^2 = 9a^2$
Собрав все члены вместе, получим: $27 + 27a + 9a^2 + a^3$.
Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степени переменной $a$:
$a^3 + 9a^2 + 27a + 27$.
Ответ: $a^3 + 9a^2 + 27a + 27$.

б) Для преобразования выражения $(x - 2)^3$ в многочлен воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба разности: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.
В данном случае $A = x$ и $B = 2$. Подставим эти значения в формулу:
$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$
Выполним вычисления для каждого члена многочлена:
$3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2$
$3 \cdot x \cdot 2^2 = 3 \cdot x \cdot 4 = 12x$
$2^3 = 8$
Подставив вычисленные значения обратно в выражение, получим итоговый многочлен:
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.
Ответ: $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

851. Представьте в виде многочлена:

а) $(x^2 + 4xy - y^2)(2y - x)$;

б) $(3 - a)(a^3 - 4a^2 - 5a)$;

в) $(a^2 - 4ab + b^2)(2a - b)$;

г) $(x - p)(x^2 + px + p^2)$.

а) Чтобы представить произведение в виде многочлена, необходимо каждый член первого многочлена $(x^2 + 4xy - y^2)$ умножить на каждый член второго многочлена $(2y - x)$ и затем сложить полученные произведения.
$(x^2 + 4xy - y^2)(2y - x) = x^2 \cdot (2y - x) + 4xy \cdot (2y - x) - y^2 \cdot (2y - x) = $
$= (x^2 \cdot 2y - x^2 \cdot x) + (4xy \cdot 2y - 4xy \cdot x) - (y^2 \cdot 2y - y^2 \cdot x) = $
$= 2x^2y - x^3 + 8xy^2 - 4x^2y - 2y^3 + xy^2$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= -x^3 + (2x^2y - 4x^2y) + (8xy^2 + xy^2) - 2y^3 = $
$= -x^3 - 2x^2y + 9xy^2 - 2y^3$
Ответ: $-x^3 - 2x^2y + 9xy^2 - 2y^3$.

б) Умножим каждый член многочлена $(3 - a)$ на каждый член многочлена $(a^3 - 4a^2 - 5a)$.
$(3 - a)(a^3 - 4a^2 - 5a) = 3 \cdot (a^3 - 4a^2 - 5a) - a \cdot (a^3 - 4a^2 - 5a) = $
$= (3a^3 - 12a^2 - 15a) - (a^4 - 4a^3 - 5a^2) = $
$= 3a^3 - 12a^2 - 15a - a^4 + 4a^3 + 5a^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, располагая их по убыванию степеней переменной $a$:
$= -a^4 + (3a^3 + 4a^3) + (-12a^2 + 5a^2) - 15a = $
$= -a^4 + 7a^3 - 7a^2 - 15a$
Ответ: $-a^4 + 7a^3 - 7a^2 - 15a$.

в) Умножим каждый член многочлена $(a^2 - 4ab + b^2)$ на каждый член многочлена $(2a - b)$.
$(a^2 - 4ab + b^2)(2a - b) = a^2(2a - b) - 4ab(2a - b) + b^2(2a - b) = $
$= (2a^3 - a^2b) - (8a^2b - 4ab^2) + (2ab^2 - b^3) = $
$= 2a^3 - a^2b - 8a^2b + 4ab^2 + 2ab^2 - b^3$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= 2a^3 + (-a^2b - 8a^2b) + (4ab^2 + 2ab^2) - b^3 = $
$= 2a^3 - 9a^2b + 6ab^2 - b^3$
Ответ: $2a^3 - 9a^2b + 6ab^2 - b^3$.

г) Данное выражение представляет собой формулу сокращенного умножения "разность кубов": $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
В этом примере $a=x$ и $b=p$. Применив формулу, получаем:
$(x - p)(x^2 + px + p^2) = x^3 - p^3$
Для проверки выполним умножение многочленов напрямую:
$(x - p)(x^2 + px + p^2) = x(x^2 + px + p^2) - p(x^2 + px + p^2) = $
$= (x^3 + px^2 + p^2x) - (px^2 + p^2x + p^3) = $
$= x^3 + px^2 + p^2x - px^2 - p^2x - p^3$
Приведем подобные слагаемые:
$= x^3 + (px^2 - px^2) + (p^2x - p^2x) - p^3 = x^3 - p^3$
Ответ: $x^3 - p^3$.

852. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) $4x^4$;

б) $0,25a^4$;

в) $36m^6$;

г) $a^2b^4$;

д) $9a^4b^2$;

е) $0,16x^6y^4$.

Чтобы представить выражение в виде квадрата одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 2. Это делается на основе свойств степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а) Чтобы представить выражение $4x^4$ в виде квадрата, найдем квадратный корень из коэффициента и каждого множителя с переменной.
Коэффициент: $\sqrt{4} = 2$.
Переменная: $\sqrt{x^4} = x^{4/2} = x^2$.
Собираем одночлен: $2x^2$.
Таким образом, $4x^4 = (2x^2)^2$.
Проверка: $(2x^2)^2 = 2^2 \cdot (x^2)^2 = 4x^4$.
Ответ: $(2x^2)^2$

б) Чтобы представить выражение $0,25a^4$ в виде квадрата, найдем квадратный корень из коэффициента и переменной.
Коэффициент: $\sqrt{0,25} = 0,5$.
Переменная: $\sqrt{a^4} = a^{4/2} = a^2$.
Собираем одночлен: $0,5a^2$.
Таким образом, $0,25a^4 = (0,5a^2)^2$.
Проверка: $(0,5a^2)^2 = 0,5^2 \cdot (a^2)^2 = 0,25a^4$.
Ответ: $(0,5a^2)^2$

в) Чтобы представить выражение $36m^6$ в виде квадрата, найдем квадратный корень из коэффициента и переменной.
Коэффициент: $\sqrt{36} = 6$.
Переменная: $\sqrt{m^6} = m^{6/2} = m^3$.
Собираем одночлен: $6m^3$.
Таким образом, $36m^6 = (6m^3)^2$.
Проверка: $(6m^3)^2 = 6^2 \cdot (m^3)^2 = 36m^6$.
Ответ: $(6m^3)^2$

г) Чтобы представить выражение $a^2b^4$ в виде квадрата, найдем квадратный корень из каждого множителя.
Первый множитель: $\sqrt{a^2} = a^{2/2} = a$.
Второй множитель: $\sqrt{b^4} = b^{4/2} = b^2$.
Собираем одночлен: $ab^2$.
Таким образом, $a^2b^4 = (ab^2)^2$.
Проверка: $(ab^2)^2 = a^2 \cdot (b^2)^2 = a^2b^4$.
Ответ: $(ab^2)^2$

д) Чтобы представить выражение $9a^4b^2$ в виде квадрата, найдем квадратный корень из коэффициента и каждого множителя с переменной.
Коэффициент: $\sqrt{9} = 3$.
Первая переменная: $\sqrt{a^4} = a^{4/2} = a^2$.
Вторая переменная: $\sqrt{b^2} = b^{2/2} = b$.
Собираем одночлен: $3a^2b$.
Таким образом, $9a^4b^2 = (3a^2b)^2$.
Проверка: $(3a^2b)^2 = 3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 9a^4b^2$.
Ответ: $(3a^2b)^2$

е) Чтобы представить выражение $0,16x^6y^4$ в виде квадрата, найдем квадратный корень из коэффициента и каждого множителя с переменной.
Коэффициент: $\sqrt{0,16} = 0,4$.
Первая переменная: $\sqrt{x^6} = x^{6/2} = x^3$.
Вторая переменная: $\sqrt{y^4} = y^{4/2} = y^2$.
Собираем одночлен: $0,4x^3y^2$.
Таким образом, $0,16x^6y^4 = (0,4x^3y^2)^2$.
Проверка: $(0,4x^3y^2)^2 = 0,4^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^2)^2 = 0,16x^6y^4$.
Ответ: $(0,4x^3y^2)^2$

3 Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата суммы.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата суммы, является полным квадратом. Для его построения используется формула сокращённого умножения — квадрат суммы двух выражений $a$ и $b$:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Выражение в правой части этой формулы, $a^2 + 2ab + b^2$, и есть искомый трёхчлен. Он состоит из суммы трёх членов: квадрата первого выражения ($a^2$), удвоенного произведения первого и второго выражений ($2ab$) и квадрата второго выражения ($b^2$).

Чтобы привести конкретный пример, достаточно выбрать любые одночлены для $a$ и $b$ и подставить их в формулу.

Пример

Пусть $a = x$ и $b = 4$.

Теперь найдём каждый из трёх членов нашего будущего трёхчлена:
1. Квадрат первого выражения: $a^2 = x^2$.
2. Удвоенное произведение выражений: $2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x$.
3. Квадрат второго выражения: $b^2 = 4^2 = 16$.

Сложив эти три части, мы получим искомый трёхчлен: $x^2 + 8x + 16$.

Проверим, что его можно представить в виде квадрата суммы: $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$.

Ответ: $x^2 + 8x + 16$.

6. Напишите формулу куба разности. Возведите в куб двучлен $3x - y$.

Напишите формулу куба разности

Формула куба разности для двух любых выражений $a$ и $b$ является одной из формул сокращённого умножения. Она записывается следующим образом:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Словесно эта формула читается так: куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения.

Ответ: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Возведите в куб двучлен 3x - y

Для того чтобы возвести двучлен $3x - y$ в куб, воспользуемся вышеуказанной формулой куба разности. В данном случае в качестве первого выражения $a$ выступает $3x$, а в качестве второго выражения $b$ выступает $y$.

Подставим $a = 3x$ и $b = y$ в формулу $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(3x - y)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot y + 3 \cdot (3x) \cdot y^2 - y^3$

Теперь последовательно упростим каждый член полученного выражения:

Куб первого члена: $(3x)^3 = 3^3 \cdot x^3 = 27x^3$.

Утроенное произведение квадрата первого члена на второй: $3 \cdot (3x)^2 \cdot y = 3 \cdot 9x^2 \cdot y = 27x^2y$.

Утроенное произведение первого члена на квадрат второго: $3 \cdot (3x) \cdot y^2 = 9xy^2$.

Куб второго члена: $y^3$.

Соединим все вычисленные части в соответствии со знаками в формуле:

$27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

Ответ: $27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$.

1 Напишите формулу квадрата суммы. Проведите доказательство.

Напишите формулу квадрата суммы.

Формула квадрата суммы двух выражений $a$ и $b$ читается так: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
Математически это записывается следующим образом:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Проведите доказательство.

Доказать данную формулу (тождество) можно двумя основными способами: алгебраическим и геометрическим.

Алгебраическое доказательство

По определению, квадрат выражения — это произведение этого выражения на само себя. Применим это определение к $(a + b)^2$:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$

Теперь раскроем скобки, используя распределительный закон умножения (умножим каждый член первой скобки на каждый член второй):
$(a + b)(a + b) = a \cdot (a + b) + b \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ba + b^2$

Так как от перестановки мест множителей произведение не меняется (коммутативный закон умножения), то $ab = ba$. Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали тождество: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Геометрическое доказательство

Рассмотрим квадрат со стороной, равной $(a + b)$. Его площадь $S$ равна квадрату длины его стороны, то есть $S = (a + b)^2$.
Представим этот квадрат разделенным на четыре части, как показано на рисунке:

• Один квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$.
• Один квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$.
• Два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, и площадью $ab$ у каждого.

Площадь всего квадрата $S$ также можно найти, сложив площади его составных частей:
$S = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Приравнивая два выражения для площади, мы приходим к искомому тождеству:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Это завершает геометрическое доказательство.

Ответ: Доказательство проведено выше алгебраическим и геометрическим методами. Оба метода показывают, что равенство $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ является верным.

4 Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата разности.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата разности, имеет определённую структуру, основанную на формуле сокращённого умножения:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Выражение в правой части равенства, $a^2 - 2ab + b^2$, и есть общий вид искомого трёхчлена. Он состоит из квадрата первого элемента ($a^2$), квадрата второго элемента ($b^2$) и их удвоенного произведения, взятого со знаком минус ($-2ab$).

Чтобы привести конкретный пример, нужно выбрать произвольные выражения для $a$ и $b$ и подставить их в формулу.

Возьмём в качестве $a$ переменную $x$, а в качестве $b$ число $5$. То есть, $a = x$ и $b = 5$.

Теперь вычислим каждый член трёхчлена:

• Первый член (квадрат первого элемента): $a^2 = x^2$
• Третий член (квадрат второго элемента): $b^2 = 5^2 = 25$
• Второй член (минус удвоенное произведение): $-2ab = -2 \cdot x \cdot 5 = -10x$

Теперь запишем эти три члена в виде многочлена, обычно располагая их в порядке убывания степеней переменной: $x^2 - 10x + 25$.

Этот трёхчлен можно представить в виде квадрата разности $(x - 5)^2$.

Пример 1:

Пусть $a = y$ и $b = 4$. Тогда трёхчлен будет $y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 - 8y + 16$. Это квадрат разности $(y - 4)^2$.

Пример 2:

Пусть $a = 3c$ и $b = 1$. Тогда трёхчлен будет $(3c)^2 - 2 \cdot 3c \cdot 1 + 1^2 = 9c^2 - 6c + 1$. Это квадрат разности $(3c - 1)^2$.

Любой из этих примеров является верным решением. Выберем один из них для ответа.

Ответ: $x^2 - 10x + 25$

2. Напишите формулу квадрата разности. Проведите доказательство.

Формула квадрата разности

Словесная формулировка: квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

В виде формулы для двух любых выражений $a$ и $b$ это записывается следующим образом:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Доказательство

Доказательство данной формулы, также известной как тождество, проводится путем алгебраических преобразований левой части равенства до тех пор, пока она не станет идентичной правой части.

1. Согласно определению степени, квадрат выражения — это результат умножения этого выражения на само себя:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$

2. Далее необходимо раскрыть скобки, используя правило умножения многочлена на многочлен (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b)$

3. Выполним операции умножения в каждом слагаемом:

$a^2 - ab - ba + b^2$

4. В алгебре действует коммутативный (переместительный) закон умножения, согласно которому $ab = ba$. Это позволяет нам привести подобные слагаемые $-ab$ и $-ba$:

$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

5. В результате преобразований мы пришли к выражению, стоящему в правой части исходной формулы. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Доказательство основано на раскрытии скобок в выражении $(a - b)(a - b)$ по правилу умножения многочленов: $(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

5 Напишите формулу куба суммы. Возведите в куб двучлен $a + 2b$.

Напишите формулу куба суммы.
Формула куба суммы для двух произвольных слагаемых $a$ и $b$ имеет следующий вид:
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Эта формула является одной из формул сокращенного умножения и показывает, как раскрыть скобки при возведении суммы в третью степень.
Ответ: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Возведите в куб двучлен a + 2b.
Чтобы возвести в куб двучлен $a + 2b$, применим общую формулу куба суммы. В нашем случае первое слагаемое — это $a$, а второе — $2b$.
Подставим эти значения в формулу $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$(a + 2b)^3 = (a)^3 + 3 \cdot (a)^2 \cdot (2b) + 3 \cdot (a) \cdot (2b)^2 + (2b)^3$
Теперь выполним все действия и упростим полученное выражение:
$a^3 + 3a^2(2b) + 3a(4b^2) + 8b^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$
В результате мы получили многочлен стандартного вида.
Ответ: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$