Страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

799. Представьте в виде многочлена:

а) $(x + y)^2$;

б) $(p - q)^2$;

в) $(b + 3)^2$;

г) $(10 - c)^2$;

д) $(y - 9)^2$;

е) $(9 - y)^2$;

ж) $(a + 12)^2$;

з) $(15 - x)^2$;

и) $(b - 0.5)^2$;

к) $(0.3 - m)^2$;

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности.

Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) Раскроем скобки в выражении $(x + y)^2$ по формуле квадрата суммы. Здесь $a=x$ и $b=y$.
$(x + y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot y + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Ответ: $x^2 + 2xy + y^2$.

б) Раскроем скобки в выражении $(p - q)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a=p$ и $b=q$.
$(p - q)^2 = p^2 - 2 \cdot p \cdot q + q^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
Ответ: $p^2 - 2pq + q^2$.

в) Раскроем скобки в выражении $(b + 3)^2$ по формуле квадрата суммы. Здесь $a=b$ и $b=3$.
$(b + 3)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 3 + 3^2 = b^2 + 6b + 9$.
Ответ: $b^2 + 6b + 9$.

г) Раскроем скобки в выражении $(10 - c)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a=10$ и $b=c$.
$(10 - c)^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot c + c^2 = 100 - 20c + c^2$.
Ответ: $100 - 20c + c^2$.

д) Раскроем скобки в выражении $(y - 9)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a=y$ и $b=9$.
$(y - 9)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = y^2 - 18y + 81$.
Ответ: $y^2 - 18y + 81$.

е) Раскроем скобки в выражении $(9 - y)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a=9$ и $b=y$.
$(9 - y)^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot y + y^2 = 81 - 18y + y^2$.
Ответ: $81 - 18y + y^2$.

ж) Раскроем скобки в выражении $(a + 12)^2$ по формуле квадрата суммы. Здесь $a=a$ и $b=12$.
$(a + 12)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 12 + 12^2 = a^2 + 24a + 144$.
Ответ: $a^2 + 24a + 144$.

з) Раскроем скобки в выражении $(15 - x)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a=15$ и $b=x$.
$(15 - x)^2 = 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot x + x^2 = 225 - 30x + x^2$.
Ответ: $225 - 30x + x^2$.

и) Раскроем скобки в выражении $(b - 0,5)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a=b$ и $b=0,5$.
$(b - 0,5)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 0,5 + (0,5)^2 = b^2 - b + 0,25$.
Ответ: $b^2 - b + 0,25$.

к) Раскроем скобки в выражении $(0,3 - m)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a=0,3$ и $b=m$.
$(0,3 - m)^2 = (0,3)^2 - 2 \cdot 0,3 \cdot m + m^2 = 0,09 - 0,6m + m^2$.
Ответ: $0,09 - 0,6m + m^2$.

802. Проверьте, что равенство

$n^2 + (n + 2)^2 + (n + 9)^2 = (n - 1)^2 + (n + 5)^2 + (n + 7)^2 + 10$

верно при $n = 3$. Покажите, что это равенство верно при любом $n$.

Проверим, что равенство верно при n = 3

Для этого подставим значение $n=3$ в левую и правую части данного равенства.

Вычислим значение левой части:

$n^2 + (n+2)^2 + (n+9)^2 = 3^2 + (3+2)^2 + (3+9)^2 = 3^2 + 5^2 + 12^2 = 9 + 25 + 144 = 178$.

Вычислим значение правой части:

$(n-1)^2 + (n+5)^2 + (n+7)^2 + 10 = (3-1)^2 + (3+5)^2 + (3+7)^2 + 10 = 2^2 + 8^2 + 10^2 + 10 = 4 + 64 + 100 + 10 = 178$.

Поскольку значения левой и правой частей совпали ($178 = 178$), равенство действительно верно при $n=3$.

Ответ: При $n=3$ левая часть равна $178$ и правая часть равна $178$, следовательно, равенство верно.

Покажем, что это равенство верно при любом n

Для этого преобразуем (упростим) левую и правую части равенства и покажем, что они тождественно равны.

Преобразуем левую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$n^2 + (n+2)^2 + (n+9)^2 = n^2 + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 18n + 81)$

$= (n^2+n^2+n^2) + (4n+18n) + (4+81) = 3n^2 + 22n + 85$.

Преобразуем правую часть, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(n-1)^2 + (n+5)^2 + (n+7)^2 + 10 = (n^2 - 2n + 1) + (n^2 + 10n + 25) + (n^2 + 14n + 49) + 10$

$= (n^2+n^2+n^2) + (-2n+10n+14n) + (1+25+49+10) = 3n^2 + 22n + 85$.

Так как в результате преобразований левая и правая части равенства свелись к одному и тому же выражению $3n^2 + 22n + 85$, данное равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $n$.

Ответ: Равенство верно при любом $n$, так как оно является тождеством ($3n^2 + 22n + 85 = 3n^2 + 22n + 85$).

800. Преобразуйте в многочлен:

а) $ (m + n)^2 $;

б) $ (c - d)^2 $;

в) $ (x + 9)^2 $;

г) $ (8 - a)^2 $;

д) $ (a - 25)^2 $;

е) $ (40 + b)^2 $;

ж) $ (0.2 - x)^2 $;

з) $ (k - 0.5)^2 $;

Для преобразования данных выражений в многочлены используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

• Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Применим эти формулы к каждому из выражений.

а)

Используем формулу квадрата суммы для $(m + n)^2$, где $a=m$ и $b=n$.

$(m + n)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot n + n^2 = m^2 + 2mn + n^2$

Ответ: $m^2 + 2mn + n^2$.

б)

Используем формулу квадрата разности для $(c - d)^2$, где $a=c$ и $b=d$.

$(c - d)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot d + d^2 = c^2 - 2cd + d^2$

Ответ: $c^2 - 2cd + d^2$.

в)

Используем формулу квадрата суммы для $(x + 9)^2$, где $a=x$ и $b=9$.

$(x + 9)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = x^2 + 18x + 81$

Ответ: $x^2 + 18x + 81$.

г)

Используем формулу квадрата разности для $(8 - a)^2$, где $a=8$ и $b=a$.

$(8 - a)^2 = 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot a + a^2 = 64 - 16a + a^2$

Ответ: $64 - 16a + a^2$.

д)

Используем формулу квадрата разности для $(a - 25)^2$, где $a=a$ и $b=25$.

$(a - 25)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 25 + 25^2 = a^2 - 50a + 625$

Ответ: $a^2 - 50a + 625$.

е)

Используем формулу квадрата суммы для $(40 + b)^2$, где $a=40$ и $b=b$.

$(40 + b)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot b + b^2 = 1600 + 80b + b^2$

Ответ: $1600 + 80b + b^2$.

ж)

Используем формулу квадрата разности для $(0,2 - x)^2$, где $a=0,2$ и $b=x$.

$(0,2 - x)^2 = (0,2)^2 - 2 \cdot 0,2 \cdot x + x^2 = 0,04 - 0,4x + x^2$

Ответ: $0,04 - 0,4x + x^2$.

з)

Используем формулу квадрата разности для $(k - 0,5)^2$, где $a=k$ и $b=0,5$.

$(k - 0,5)^2 = k^2 - 2 \cdot k \cdot 0,5 + (0,5)^2 = k^2 - k + 0,25$

Ответ: $k^2 - k + 0,25$.

803. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) $(2x + 3)^2$;

б) $(7y - 6)^2$;

в) $(10 + 8k)^2$;

г) $(5y - 4x)^2$;

д) $\left(5a + \frac{1}{5}b\right)^2$;

е) $\left(\frac{1}{4}m - 2n\right)^2$;

ж) $(0,3x - 0,5a)^2$;

з) $(10c + 0,1y)^2$.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) Преобразуем выражение $(2x + 3)^2$ по формуле квадрата суммы. Здесь $a = 2x$ и $b = 3$.
$(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.
Ответ: $4x^2 + 12x + 9$.

б) Преобразуем выражение $(7y - 6)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a = 7y$ и $b = 6$.
$(7y - 6)^2 = (7y)^2 - 2 \cdot (7y) \cdot 6 + 6^2 = 49y^2 - 84y + 36$.
Ответ: $49y^2 - 84y + 36$.

в) Преобразуем выражение $(10 + 8k)^2$ по формуле квадрата суммы. Здесь $a = 10$ и $b = 8k$.
$(10 + 8k)^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot (8k) + (8k)^2 = 100 + 160k + 64k^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $64k^2 + 160k + 100$.
Ответ: $64k^2 + 160k + 100$.

г) Преобразуем выражение $(5y - 4x)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a = 5y$ и $b = 4x$.
$(5y - 4x)^2 = (5y)^2 - 2 \cdot (5y) \cdot (4x) + (4x)^2 = 25y^2 - 40xy + 16x^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде (в алфавитном порядке переменных): $16x^2 - 40xy + 25y^2$.
Ответ: $16x^2 - 40xy + 25y^2$.

д) Преобразуем выражение $(5a + \frac{1}{5}b)^2$ по формуле квадрата суммы. Здесь $a = 5a$ и $b = \frac{1}{5}b$.
$(5a + \frac{1}{5}b)^2 = (5a)^2 + 2 \cdot (5a) \cdot (\frac{1}{5}b) + (\frac{1}{5}b)^2 = 25a^2 + \frac{10}{5}ab + \frac{1}{25}b^2 = 25a^2 + 2ab + \frac{1}{25}b^2$.
Ответ: $25a^2 + 2ab + \frac{1}{25}b^2$.

е) Преобразуем выражение $(\frac{1}{4}m - 2n)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a = \frac{1}{4}m$ и $b = 2n$.
$(\frac{1}{4}m - 2n)^2 = (\frac{1}{4}m)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{4}m) \cdot (2n) + (2n)^2 = \frac{1}{16}m^2 - \frac{4}{4}mn + 4n^2 = \frac{1}{16}m^2 - mn + 4n^2$.
Ответ: $\frac{1}{16}m^2 - mn + 4n^2$.

ж) Преобразуем выражение $(0,3x - 0,5a)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a_1 = 0,3x$ и $b_1 = 0,5a$.
$(0,3x - 0,5a)^2 = (0,3x)^2 - 2 \cdot (0,3x) \cdot (0,5a) + (0,5a)^2 = 0,09x^2 - 0,3ax + 0,25a^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $0,25a^2 - 0,3ax + 0,09x^2$.
Ответ: $0,25a^2 - 0,3ax + 0,09x^2$.

з) Преобразуем выражение $(10c + 0,1y)^2$ по формуле квадрата суммы. Здесь $a = 10c$ и $b = 0,1y$.
$(10c + 0,1y)^2 = (10c)^2 + 2 \cdot (10c) \cdot (0,1y) + (0,1y)^2 = 100c^2 + 2cy + 0,01y^2$.
Ответ: $100c^2 + 2cy + 0,01y^2$.

801. С помощью рисунка 71 разъясните геометрический смысл формулы $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для положительных $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a > b$.

Рис. 71

Геометрический смысл формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для положительных $a$ и $b$, где $a > b$, можно продемонстрировать с помощью площадей фигур, показанных на рисунке.

На рисунке изображен большой квадрат со стороной $a$. Его общая площадь равна $S_{большого} = a^2$.

В левом нижнем углу этого квадрата находится серый квадрат. Поскольку от каждой стороны большого квадрата (равной $a$) отсекается отрезок длиной $b$, то сторона серого квадрата равна $a-b$. Таким образом, его площадь составляет $S_{серого} = (a-b)^2$. Это выражение соответствует левой части формулы.

Теперь вычислим площадь этого же серого квадрата другим способом, чтобы получить правую часть формулы. Площадь серого квадрата можно найти, вычитая из площади большого квадрата ($a^2$) площадь "Г"-образной фигуры, которая его окружает.

Представим, что мы вычитаем из большого квадрата площадью $a^2$ сначала вертикальный прямоугольник справа со сторонами $a$ и $b$ (его площадь равна $ab$), а затем горизонтальный прямоугольник сверху, также со сторонами $a$ и $b$ (его площадь тоже равна $ab$).

При вычитании этих двух прямоугольников мы дважды вычли площадь их общей части — маленького квадрата в правом верхнем углу. Этот маленький квадрат имеет стороны длиной $b$, и его площадь равна $b^2$. Чтобы исправить ошибку двойного вычитания, мы должны один раз прибавить эту площадь обратно.

Следовательно, площадь серого квадрата вычисляется следующим образом:

$S_{серого} = S_{большого} - (\text{площадь правого прямоугольника}) - (\text{площадь верхнего прямоугольника}) + (\text{площадь их пересечения})$

$S_{серого} = a^2 - ab - ab + b^2$

Упрощая это выражение, получаем: $S_{серого} = a^2 - 2ab + b^2$. Это правая часть исходной формулы.

Так как оба выражения, $(a-b)^2$ и $a^2 - 2ab + b^2$, описывают площадь одной и той же фигуры (серого квадрата), мы можем их приравнять:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы геометрически разъяснили формулу квадрата разности.

Ответ: Геометрический смысл формулы заключается в том, что площадь квадрата со стороной $(a-b)$ равна площади квадрата со стороной $a$, из которой вычли площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$, с последующим добавлением площади квадрата со стороной $b$ для компенсации дважды вычтенной площади их пересечения.