Страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

787. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на $40 \text{ см}^2$. Найдите площадь прямоугольника.

Обозначим длину исходного прямоугольника как $l$ (в см), а ширину — как $w$ (в см). Тогда площадь прямоугольника $S_{прям}$ вычисляется по формуле: $S_{прям} = l \cdot w$.

Согласно условию задачи, если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат. Это означает, что новые стороны будут равны друг другу.

Новая длина: $l - 4$ см.
Новая ширина: $w + 5$ см.

Поскольку получившаяся фигура — квадрат, ее стороны равны. Составим первое уравнение: $l - 4 = w + 5$.

Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую. Выразим длину $l$ через ширину $w$: $l = w + 5 + 4$
$l = w + 9$.

Площадь нового квадрата $S_{кв}$ равна произведению его сторон: $S_{кв} = (l - 4)(w + 5)$.

Также в условии сказано, что площадь квадрата на 40 см² больше площади исходного прямоугольника. Составим второе уравнение: $S_{кв} = S_{прям} + 40$.

Подставим выражения для площадей: $(l - 4)(w + 5) = l \cdot w + 40$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1) $l = w + 9$
2) $(l - 4)(w + 5) = l \cdot w + 40$

Подставим выражение для $l$ из первого уравнения во второе: $((w + 9) - 4)(w + 5) = (w + 9) \cdot w + 40$.

Упростим и решим полученное уравнение: $(w + 5)(w + 5) = w^2 + 9w + 40$
$(w + 5)^2 = w^2 + 9w + 40$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы: $w^2 + 10w + 25 = w^2 + 9w + 40$.

Вычтем $w^2$ из обеих частей уравнения: $10w + 25 = 9w + 40$.

Перенесем слагаемые с $w$ в левую часть, а числовые значения — в правую: $10w - 9w = 40 - 25$
$w = 15$.

Таким образом, ширина исходного прямоугольника равна 15 см.

Теперь найдем длину $l$, используя ранее найденное соотношение $l = w + 9$: $l = 15 + 9 = 24$.

Длина исходного прямоугольника равна 24 см.

Задача просит найти площадь прямоугольника. Вычислим ее: $S_{прям} = l \cdot w = 24 \cdot 15 = 360$ см².

Ответ: 360 см².

790. Найдите значение выражения:

а) $a^2 + ab - 7a - 7b$ при $a = 6,6$, $b = 0,4$;

б) $x^2 - xy - 4x + 4y$ при $x = 0,5$, $y = 2,5$;

в) $5a^2 - 5ax - 7a + 7x$ при $a = 4$, $x = -3$;

г) $xb - xc + 3c - 3b$ при $x = 2$, $b = 12,5$, $c = 8,3$;

д) $ay - ax - 2x + 2y$ при $a = -2$, $x = 9,1$, $y = -6,4$;

е) $3ax - 4by - 4ay + 3bx$ при $a = 3$, $b = -13$, $x = -1$, $y = -2$.

а)

Дано выражение $a^2 + ab - 7a - 7b$ при $a = 6,6$ и $b = 0,4$.

Для упрощения вычислений сначала разложим выражение на множители методом группировки:

$(a^2 + ab) - (7a + 7b) = a(a + b) - 7(a + b) = (a - 7)(a + b)$.

Теперь подставим числовые значения $a$ и $b$ в полученное выражение:

$(6,6 - 7)(6,6 + 0,4) = (-0,4) \cdot 7 = -2,8$.

Ответ: $-2,8$.

б)

Дано выражение $x^2 - xy - 4x + 4y$ при $x = 0,5$ и $y = 2,5$.

Упростим выражение, сгруппировав его члены:

$(x^2 - xy) - (4x - 4y) = x(x - y) - 4(x - y) = (x - 4)(x - y)$.

Подставим значения $x$ и $y$:

$(0,5 - 4)(0,5 - 2,5) = (-3,5) \cdot (-2) = 7$.

Ответ: $7$.

в)

Дано выражение $5a^2 - 5ax - 7a + 7x$ при $a = 4$ и $x = -3$.

Сгруппируем и вынесем общие множители за скобки:

$(5a^2 - 5ax) - (7a - 7x) = 5a(a - x) - 7(a - x) = (5a - 7)(a - x)$.

Подставим заданные значения $a$ и $x$:

$(5 \cdot 4 - 7)(4 - (-3)) = (20 - 7)(4 + 3) = 13 \cdot 7 = 91$.

Ответ: $91$.

г)

Дано выражение $xb - xc + 3c - 3b$ при $x = 2$, $b = 12,5$ и $c = 8,3$.

Упростим выражение, сгруппировав слагаемые:

$(xb - xc) - (3b - 3c) = x(b - c) - 3(b - c) = (x - 3)(b - c)$.

Подставим значения переменных:

$(2 - 3)(12,5 - 8,3) = (-1) \cdot (4,2) = -4,2$.

Ответ: $-4,2$.

д)

Дано выражение $ay - ax - 2x + 2y$ при $a = -2$, $x = 9,1$ и $y = -6,4$.

Перегруппируем и упростим выражение:

$(ay + 2y) - (ax + 2x) = y(a + 2) - x(a + 2) = (y - x)(a + 2)$.

Подставим значения переменных:

$(-6,4 - 9,1)(-2 + 2) = (-15,5) \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

е)

Дано выражение $3ax - 4by - 4ay + 3bx$ при $a = 3$, $b = -13$, $x = -1$ и $y = -2$.

Перегруппируем слагаемые для упрощения:

$(3ax + 3bx) - (4by + 4ay) = 3x(a + b) - 4y(b + a) = (3x - 4y)(a + b)$.

Теперь подставим числовые значения:

$(3 \cdot (-1) - 4 \cdot (-2))(3 + (-13)) = (-3 - (-8))(3 - 13) = (-3 + 8)(-10) = 5 \cdot (-10) = -50$.

Ответ: $-50$.

793. Разложите на множители многочлен:

а) $x^2 - 10x + 24$;

б) $x^2 - 13x + 40$;

в) $x^2 + 8x + 7;$

г) $x^2 + 15x + 54;$

д) $x^2 + x - 12;$

е) $x^2 - 2x - 35.$

а) Для того чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 - 10x + 24$, мы используем формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. В данном случае $a=1$, поэтому формула принимает вид $(x - x_1)(x - x_2)$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 24 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета, согласно которой сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
$x_1 + x_2 = -(-10) = 10$
$x_1 \cdot x_2 = 24$
Методом подбора находим, что корни равны $4$ и $6$, так как $4 + 6 = 10$ и $4 \cdot 6 = 24$.
Следовательно, разложение многочлена на множители: $(x - 4)(x - 6)$.
Ответ: $(x - 4)(x - 6)$.

б) Разложим на множители многочлен $x^2 - 13x + 40$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 40 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -(-13) = 13$
$x_1 \cdot x_2 = 40$
Подбираем корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 8$, поскольку $5 + 8 = 13$ и $5 \cdot 8 = 40$.
Таким образом, $x^2 - 13x + 40 = (x - 5)(x - 8)$.
Ответ: $(x - 5)(x - 8)$.

в) Разложим на множители $x^2 + 8x + 7$. Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -8$
$x_1 \cdot x_2 = 7$
Корни в данном случае $x_1 = -1$ и $x_2 = -7$, так как $(-1) + (-7) = -8$ и $(-1) \cdot (-7) = 7$.
Тогда разложение имеет вид $(x - (-1))(x - (-7))$, что равно $(x + 1)(x + 7)$.
Ответ: $(x + 1)(x + 7)$.

г) Разложим на множители $x^2 + 15x + 54$. Найдем корни уравнения $x^2 + 15x + 54 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -15$
$x_1 \cdot x_2 = 54$
Корнями являются числа $x_1 = -6$ и $x_2 = -9$, так как $(-6) + (-9) = -15$ и $(-6) \cdot (-9) = 54$.
Следовательно, $x^2 + 15x + 54 = (x - (-6))(x - (-9)) = (x + 6)(x + 9)$.
Ответ: $(x + 6)(x + 9)$.

д) Разложим на множители $x^2 + x - 12$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$, потому что $3 + (-4) = -1$ и $3 \cdot (-4) = -12$.
Таким образом, разложение будет $(x - 3)(x - (-4))$, что равно $(x - 3)(x + 4)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 4)$.

е) Разложим на множители $x^2 - 2x - 35$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -(-2) = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -35$
Корнями являются числа $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$, так как $7 + (-5) = 2$ и $7 \cdot (-5) = -35$.
Следовательно, $x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x - (-5)) = (x - 7)(x + 5)$.
Ответ: $(x - 7)(x + 5)$.

785. Докажите, что:

а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;

б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.

а) Обозначим четыре последовательных целых числа через $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $n$ — любое целое число.

Крайними числами в этой последовательности являются $n$ и $n+3$. Найдем их произведение:

$P_{крайних} = n \cdot (n+3) = n^2 + 3n$.

Средними числами являются $n+1$ и $n+2$. Найдем их произведение:

$P_{средних} = (n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$.

Теперь сравним произведение средних чисел с произведением крайних. Для этого найдем их разность:

$P_{средних} - P_{крайних} = (n^2 + 3n + 2) - (n^2 + 3n) = n^2 + 3n + 2 - n^2 - 3n = 2$.

Разность равна 2, что означает, что произведение средних чисел на 2 больше произведения крайних чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Обозначим три последовательных нечётных числа. Удобно представить их в виде $m-2$, $m$, $m+2$, где $m$ — среднее нечётное число.

Среднее число в этой последовательности — это $m$. Его квадрат равен $m^2$.

Крайними числами являются $m-2$ и $m+2$. Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$P_{крайних} = (m-2)(m+2) = m^2 - 2^2 = m^2 - 4$.

Теперь сравним квадрат среднего числа с произведением крайних чисел. Для этого найдем их разность:

$m^2 - P_{крайних} = m^2 - (m^2 - 4) = m^2 - m^2 + 4 = 4$.

Разность равна 4, что означает, что квадрат среднего числа на 4 больше произведения крайних чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

788. Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то его площадь увеличится на $30 \text{ м}^2$. Определите площадь первоначального прямоугольника.

Пусть $l$ — первоначальная длина прямоугольника, а $w$ — его первоначальная ширина в метрах.

Согласно условию, периметр прямоугольника равен 36 м. Формула периметра: $P = 2(l + w)$.
Составим первое уравнение:
$2(l + w) = 36$
$l + w = 18$

Первоначальная площадь прямоугольника вычисляется по формуле $A = l \cdot w$.

Если длину увеличить на 1 м, а ширину на 2 м, то новые размеры составят $(l + 1)$ м и $(w + 2)$ м.
Новая площадь $A'$ будет равна $A' = (l + 1)(w + 2)$.

По условию, новая площадь на 30 м² больше первоначальной, то есть $A' = A + 30$.
Составим второе уравнение, подставив выражения для площадей:
$(l + 1)(w + 2) = l \cdot w + 30$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$l \cdot w + 2l + w + 2 = l \cdot w + 30$
Вычтем $l \cdot w$ из обеих частей уравнения:
$2l + w + 2 = 30$
$2l + w = 28$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
1) $l + w = 18$
2) $2l + w = 28$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:
$(2l + w) - (l + w) = 28 - 18$
$l = 10$

Мы нашли первоначальную длину: $l = 10$ м. Теперь найдем ширину, подставив значение $l$ в первое уравнение:
$10 + w = 18$
$w = 18 - 10$
$w = 8$ (м)

Таким образом, первоначальные размеры прямоугольника: длина 10 м и ширина 8 м.

Теперь определим площадь первоначального прямоугольника:
$A = l \cdot w = 10 \cdot 8 = 80$ м²

Ответ: 80 м².

791. Разложите на множители многочлен:

а) $a^3 - 2a^2 + 2a - 4;$

б) $x^3 - 12 + 6x^2 - 2x;$

в) $c^4 - 2c^2 + c^3 - 2c;$

г) $-y^6 - y^5 + y^4 + y^3;$

д) $a^2b - b^2c + a^2c - bc^2;$

е) $2x^3 + xy^2 - 2x^2y - y^3;$

ж) $16ab^2 - 10c^3 + 32ac^2 - 5b^2c;$

з) $6a^3 - 21a^2b + 2ab^2 - 7b^3.$

а) $a^3 - 2a^2 + 2a - 4$

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.

$(a^3 - 2a^2) + (2a - 4)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе.

$a^2(a - 2) + 2(a - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки.

$(a - 2)(a^2 + 2)$

Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2)$

б) $x^3 - 12 + 6x^2 - 2x$

Переставим слагаемые для удобства группировки.

$x^3 + 6x^2 - 2x - 12$

Сгруппируем слагаемые: $(x^3 + 6x^2) + (-2x - 12)$.

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе.

$x^2(x + 6) - 2(x + 6)$

Вынесем общий множитель $(x + 6)$ за скобки.

$(x + 6)(x^2 - 2)$

Ответ: $(x + 6)(x^2 - 2)$

в) $c^4 - 2c^2 + c^3 - 2c$

Сгруппируем слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым.

$(c^4 - 2c^2) + (c^3 - 2c)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе.

$c^2(c^2 - 2) + c(c^2 - 2)$

Вынесем общий множитель $(c^2 - 2)$ за скобки.

$(c^2 - 2)(c^2 + c)$

Во второй скобке вынесем общий множитель $c$.

$c(c + 1)(c^2 - 2)$

Ответ: $c(c + 1)(c^2 - 2)$

г) $-y^6 - y^5 + y^4 + y^3$

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.

$(-y^6 - y^5) + (y^4 + y^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе.

$-y^5(y + 1) + y^3(y + 1)$

Вынесем общий множитель $(y + 1)$ за скобки.

$(y + 1)(-y^5 + y^3)$

Во второй скобке вынесем общий множитель $-y^3$.

$(y + 1)(-y^3)(y^2 - 1)$

Разложим выражение $(y^2 - 1)$ по формуле разности квадратов: $(y - 1)(y + 1)$.

$-y^3(y + 1)(y - 1)(y + 1) = -y^3(y - 1)(y + 1)^2$

Ответ: $-y^3(y - 1)(y + 1)^2$

д) $a^2b - b^2c + a^2c - bc^2$

Переставим слагаемые для удобства группировки: сгруппируем слагаемые с $a^2$ и слагаемые с $bc$.

$(a^2b + a^2c) - (b^2c + bc^2)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе.

$a^2(b + c) - bc(b + c)$

Вынесем общий множитель $(b + c)$ за скобки.

$(b + c)(a^2 - bc)$

Ответ: $(b + c)(a^2 - bc)$

е) $2x^3 + xy^2 - 2x^2y - y^3$

Переставим слагаемые для удобства группировки.

$2x^3 - 2x^2y + xy^2 - y^3$

Сгруппируем слагаемые: $(2x^3 - 2x^2y) + (xy^2 - y^3)$.

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе.

$2x^2(x - y) + y^2(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки.

$(x - y)(2x^2 + y^2)$

Ответ: $(x - y)(2x^2 + y^2)$

ж) $16ab^2 - 10c^3 + 32ac^2 - 5b^2c$

Переставим слагаемые, чтобы сгруппировать члены с $b^2$ и члены с $c^2, c^3$.

$(16ab^2 - 5b^2c) + (32ac^2 - 10c^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе.

$b^2(16a - 5c) + 2c^2(16a - 5c)$

Вынесем общий множитель $(16a - 5c)$ за скобки.

$(16a - 5c)(b^2 + 2c^2)$

Ответ: $(16a - 5c)(b^2 + 2c^2)$

з) $6a^3 - 21a^2b + 2ab^2 - 7b^3$

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.

$(6a^3 - 21a^2b) + (2ab^2 - 7b^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе.

$3a^2(2a - 7b) + b^2(2a - 7b)$

Вынесем общий множитель $(2a - 7b)$ за скобки.

$(2a - 7b)(3a^2 + b^2)$

Ответ: $(2a - 7b)(3a^2 + b^2)$

786. Сторона квадрата на 2 см больше одной из сторон прямоугольника и на 5 см меньше другой. Найдите площадь квадрата, если известно, что она на 50 см² меньше площади прямоугольника.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ см — длина стороны квадрата.

Согласно условию, сторона квадрата на 2 см больше одной из сторон прямоугольника. Следовательно, одна из сторон прямоугольника равна $(x - 2)$ см.

Также известно, что сторона квадрата на 5 см меньше другой стороны прямоугольника. Значит, вторая сторона прямоугольника равна $(x + 5)$ см.

Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата. В нашем случае:

$S_{кв} = x^2$

Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) равна произведению его смежных сторон. В нашем случае:

$S_{пр} = (x - 2)(x + 5)$

По условию задачи, площадь квадрата на 50 см² меньше площади прямоугольника. Это можно записать в виде уравнения:

$S_{пр} - S_{кв} = 50$

Подставим в это уравнение выражения для площадей:

$(x - 2)(x + 5) - x^2 = 50$

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:

$x^2 + 5x - 2x - 10 - x^2 = 50$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (5x - 2x) - 10 = 50$

$3x - 10 = 50$

Перенесем -10 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 50 + 10$

$3x = 60$

Найдем $x$:

$x = \frac{60}{3}$

$x = 20$

Таким образом, сторона квадрата равна 20 см.

Теперь найдем площадь квадрата:

$S_{кв} = x^2 = 20^2 = 400$ см².

Ответ: 400 см².

789. Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 $\text{см}^2$. Найдите площадь первоначального прямоугольника.

Пусть первоначальная длина прямоугольника равна $l$ см, а первоначальная ширина — $w$ см.

Согласно условию, периметр прямоугольника равен 30 см. Формула периметра: $P = 2(l + w)$. Составим первое уравнение:
$2(l + w) = 30$
Разделим обе части на 2:
$l + w = 15$

Первоначальная площадь прямоугольника равна $S_1 = l \cdot w$.

Если длину уменьшить на 3 см, то новая длина станет $(l - 3)$ см. Если ширину увеличить на 5 см, то новая ширина станет $(w + 5)$ см. Новая площадь прямоугольника будет равна $S_2 = (l - 3)(w + 5)$.

По условию, новая площадь на 8 см² меньше первоначальной, то есть $S_2 = S_1 - 8$. Составим второе уравнение:
$(l - 3)(w + 5) = l \cdot w - 8$
Раскроем скобки в левой части:
$lw + 5l - 3w - 15 = lw - 8$
Вычтем $lw$ из обеих частей уравнения и перенесем число -15 в правую часть с противоположным знаком:
$5l - 3w = -8 + 15$
$5l - 3w = 7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} l + w = 15 \\ 5l - 3w = 7 \end{cases}$

Для решения системы выразим $l$ из первого уравнения: $l = 15 - w$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$5(15 - w) - 3w = 7$
$75 - 5w - 3w = 7$
$75 - 8w = 7$
$8w = 75 - 7$
$8w = 68$
$w = \frac{68}{8} = 8.5$ см.

Теперь найдем первоначальную длину $l$:
$l = 15 - w = 15 - 8.5 = 6.5$ см.

Итак, первоначальные размеры прямоугольника — 6,5 см и 8,5 см.

Требуется найти первоначальную площадь прямоугольника.
$S_1 = l \cdot w = 6.5 \cdot 8.5 = 55.25$ см².

Ответ: $55.25 \text{ см}^2$.

792. Представьте в виде произведения:

а) $ma - mb + na - nb + pa - pb;$

б) $ax - bx - cx + ay - by - cy;$

в) $x^2 + ax^2 - y - ay + cx^2 - cy;$

г) $ax^2 + 2y - bx^2 + ay + 2x^2 - by.$

а) Чтобы представить выражение $ma - mb + na - nb + pa - pb$ в виде произведения, применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители. В данном случае можно сгруппировать члены с множителем m, с множителем n и с множителем p.

$(ma - mb) + (na - nb) + (pa - pb)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из трех групп:

$m(a - b) + n(a - b) + p(a - b)$

Мы видим, что у всех трех получившихся слагаемых есть общий множитель — выражение в скобках $(a - b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)(m + n + p)$

Ответ: $(a - b)(m + n + p)$

б) Для разложения на множители выражения $ax - bx - cx + ay - by - cy$ также используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную x, и слагаемые, содержащие переменную y.

$(ax - bx - cx) + (ay - by - cy)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В первой группе это x, во второй — y.

$x(a - b - c) + y(a - b - c)$

Теперь общим множителем для двух слагаемых является выражение $(a - b - c)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b - c)(x + y)$

Ответ: $(a - b - c)(x + y)$

в) В выражении $x^2 + ax^2 - y - ay + cx^2 - cy$ сгруппируем слагаемые, содержащие $x^2$, и слагаемые, не содержащие $x^2$ (т.е. слагаемые с y и свободный член -y, но здесь все они связаны с y).

$(x^2 + ax^2 + cx^2) + (-y - ay - cy)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп. Из первой группы вынесем $x^2$, а из второй вынесем $-y$.

$x^2(1 + a + c) - y(1 + a + c)$

Общим множителем является выражение в скобках $(1 + a + c)$. Вынесем его за скобки:

$(1 + a + c)(x^2 - y)$

Ответ: $(1 + a + c)(x^2 - y)$

г) Чтобы представить в виде произведения выражение $ax^2 + 2y - bx^2 + ay + 2x^2 - by$, сначала перегруппируем слагаемые для удобства. Сгруппируем все члены с множителем $x^2$ и все члены с множителем y.

$(ax^2 - bx^2 + 2x^2) + (2y + ay - by)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $x^2$, а из второй — y.

$x^2(a - b + 2) + y(2 + a - b)$

Заметим, что выражения в скобках идентичны, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется: $(a - b + 2) = (2 + a - b)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(a - b + 2)(x^2 + y)$

Ответ: $(a - b + 2)(x^2 + y)$