Номер 793, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 793, страница 161.

Условие.

793. Разложите на множители многочлен:

а) $x^2 - 10x + 24$;

б) $x^2 - 13x + 40$;

в) $x^2 + 8x + 7;$

г) $x^2 + 15x + 54;$

д) $x^2 + x - 12;$

е) $x^2 - 2x - 35.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 - 10x + 24$, мы используем формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. В данном случае $a=1$, поэтому формула принимает вид $(x - x_1)(x - x_2)$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 24 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета, согласно которой сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
$x_1 + x_2 = -(-10) = 10$
$x_1 \cdot x_2 = 24$
Методом подбора находим, что корни равны $4$ и $6$, так как $4 + 6 = 10$ и $4 \cdot 6 = 24$.
Следовательно, разложение многочлена на множители: $(x - 4)(x - 6)$.
Ответ: $(x - 4)(x - 6)$.

б) Разложим на множители многочлен $x^2 - 13x + 40$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 40 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -(-13) = 13$
$x_1 \cdot x_2 = 40$
Подбираем корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 8$, поскольку $5 + 8 = 13$ и $5 \cdot 8 = 40$.
Таким образом, $x^2 - 13x + 40 = (x - 5)(x - 8)$.
Ответ: $(x - 5)(x - 8)$.

в) Разложим на множители $x^2 + 8x + 7$. Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -8$
$x_1 \cdot x_2 = 7$
Корни в данном случае $x_1 = -1$ и $x_2 = -7$, так как $(-1) + (-7) = -8$ и $(-1) \cdot (-7) = 7$.
Тогда разложение имеет вид $(x - (-1))(x - (-7))$, что равно $(x + 1)(x + 7)$.
Ответ: $(x + 1)(x + 7)$.

г) Разложим на множители $x^2 + 15x + 54$. Найдем корни уравнения $x^2 + 15x + 54 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -15$
$x_1 \cdot x_2 = 54$
Корнями являются числа $x_1 = -6$ и $x_2 = -9$, так как $(-6) + (-9) = -15$ и $(-6) \cdot (-9) = 54$.
Следовательно, $x^2 + 15x + 54 = (x - (-6))(x - (-9)) = (x + 6)(x + 9)$.
Ответ: $(x + 6)(x + 9)$.

д) Разложим на множители $x^2 + x - 12$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$, потому что $3 + (-4) = -1$ и $3 \cdot (-4) = -12$.
Таким образом, разложение будет $(x - 3)(x - (-4))$, что равно $(x - 3)(x + 4)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 4)$.

е) Разложим на множители $x^2 - 2x - 35$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -(-2) = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -35$
Корнями являются числа $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$, так как $7 + (-5) = 2$ и $7 \cdot (-5) = -35$.
Следовательно, $x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x - (-5)) = (x - 7)(x + 5)$.
Ответ: $(x - 7)(x + 5)$.