Номер 787, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 787, страница 161.

Условие.

787. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на $40 \text{ см}^2$. Найдите площадь прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим длину исходного прямоугольника как $l$ (в см), а ширину — как $w$ (в см). Тогда площадь прямоугольника $S_{прям}$ вычисляется по формуле: $S_{прям} = l \cdot w$.

Согласно условию задачи, если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат. Это означает, что новые стороны будут равны друг другу.

Новая длина: $l - 4$ см.
Новая ширина: $w + 5$ см.

Поскольку получившаяся фигура — квадрат, ее стороны равны. Составим первое уравнение: $l - 4 = w + 5$.

Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую. Выразим длину $l$ через ширину $w$: $l = w + 5 + 4$
$l = w + 9$.

Площадь нового квадрата $S_{кв}$ равна произведению его сторон: $S_{кв} = (l - 4)(w + 5)$.

Также в условии сказано, что площадь квадрата на 40 см² больше площади исходного прямоугольника. Составим второе уравнение: $S_{кв} = S_{прям} + 40$.

Подставим выражения для площадей: $(l - 4)(w + 5) = l \cdot w + 40$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1) $l = w + 9$
2) $(l - 4)(w + 5) = l \cdot w + 40$

Подставим выражение для $l$ из первого уравнения во второе: $((w + 9) - 4)(w + 5) = (w + 9) \cdot w + 40$.

Упростим и решим полученное уравнение: $(w + 5)(w + 5) = w^2 + 9w + 40$
$(w + 5)^2 = w^2 + 9w + 40$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы: $w^2 + 10w + 25 = w^2 + 9w + 40$.

Вычтем $w^2$ из обеих частей уравнения: $10w + 25 = 9w + 40$.

Перенесем слагаемые с $w$ в левую часть, а числовые значения — в правую: $10w - 9w = 40 - 25$
$w = 15$.

Таким образом, ширина исходного прямоугольника равна 15 см.

Теперь найдем длину $l$, используя ранее найденное соотношение $l = w + 9$: $l = 15 + 9 = 24$.

Длина исходного прямоугольника равна 24 см.

Задача просит найти площадь прямоугольника. Вычислим ее: $S_{прям} = l \cdot w = 24 \cdot 15 = 360$ см².

Ответ: 360 см².