Номер 781, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 781, страница 160.

Условие.

781. Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменных:

a) $126y^3 + (x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy)$ при $x = -3$, $y = -2$;

б) $m^3 + n^3 - (m^2 - 2mn - n^2)(m - n)$ при $m = -3$, $n = 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $126y^3 + (x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy)$ при $x = -3, y = -2$

Сначала упростим данное выражение. Заметим, что часть выражения $(x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy)$ можно преобразовать, поменяв местами слагаемые во второй скобке: $(x - 5y)(x^2 + 5xy + (5y)^2)$.

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 5y$.

Следовательно, $(x - 5y)(x^2 + 5xy + 25y^2) = x^3 - (5y)^3 = x^3 - 125y^3$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$126y^3 + (x^3 - 125y^3) = 126y^3 + x^3 - 125y^3 = x^3 + (126 - 125)y^3 = x^3 + y^3$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения $x^3 + y^3$ при $x = -3$ и $y = -2$:

$(-3)^3 + (-2)^3 = -27 + (-8) = -27 - 8 = -35$.

Ответ: -35

б) $m^3 + n^3 - (m^2 - 2mn - n^2)(m - n)$ при $m = -3, n = 4$

Сначала упростим выражение. Раскроем скобки в части $(m^2 - 2mn - n^2)(m - n)$:

$(m^2 - 2mn - n^2)(m - n) = m(m^2 - 2mn - n^2) - n(m^2 - 2mn - n^2) = $

$= m^3 - 2m^2n - mn^2 - m^2n + 2mn^2 + n^3 = m^3 - 3m^2n + mn^2 + n^3$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$m^3 + n^3 - (m^3 - 3m^2n + mn^2 + n^3) = m^3 + n^3 - m^3 + 3m^2n - mn^2 - n^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$(m^3 - m^3) + (n^3 - n^3) + 3m^2n - mn^2 = 3m^2n - mn^2$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения $3m^2n - mn^2$ при $m = -3$ и $n = 4$:

$3(-3)^2(4) - (-3)(4)^2 = 3(9)(4) - (-3)(16) = 108 - (-48) = 108 + 48 = 156$.

Ответ: 156