Номер 776, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 776, страница 160.

Условие.

776. Докажите, что:

a) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14;

б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Обозначим три последовательные степени числа 2 с натуральными показателями как $2^n$, $2^{n+1}$ и $2^{n+2}$, где $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.
Их сумма $S$ равна:
$S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$
Для доказательства вынесем за скобки общий множитель, которым является наименьшая степень, то есть $2^n$:
$S = 2^n (1 + 2^1 + 2^2) = 2^n (1 + 2 + 4) = 2^n \cdot 7$
Нам нужно доказать, что полученное выражение делится на 14. Поскольку $14 = 2 \cdot 7$, нам нужно показать, что в произведении $2^n \cdot 7$ есть множители 2 и 7. Множитель 7 у нас уже есть.
Так как по условию показатель степени — натуральное число, то $n \ge 1$. Это означает, что $2^n$ всегда делится на 2. Представим $2^n$ как $2 \cdot 2^{n-1}$.
$S = (2 \cdot 2^{n-1}) \cdot 7 = (2 \cdot 7) \cdot 2^{n-1} = 14 \cdot 2^{n-1}$
Поскольку $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$, и $2^{n-1}$ является целым числом. Следовательно, выражение $14 \cdot 2^{n-1}$ всегда делится на 14 нацело. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Обозначим две последовательные степени числа 5 с натуральными показателями как $5^n$ и $5^{n+1}$, где $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.
Их сумма $S$ равна:
$S = 5^n + 5^{n+1}$
Вынесем за скобки общий множитель $5^n$:
$S = 5^n (1 + 5^1) = 5^n (1 + 5) = 5^n \cdot 6$
Нам нужно доказать, что полученное выражение делится на 30. Поскольку $30 = 5 \cdot 6$, нам нужно показать, что в произведении $5^n \cdot 6$ есть множители 5 и 6. Множитель 6 у нас уже есть.
Так как по условию показатель степени — натуральное число, то $n \ge 1$. Это означает, что $5^n$ всегда делится на 5. Представим $5^n$ как $5 \cdot 5^{n-1}$.
$S = (5 \cdot 5^{n-1}) \cdot 6 = (5 \cdot 6) \cdot 5^{n-1} = 30 \cdot 5^{n-1}$
Поскольку $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$, и $5^{n-1}$ является целым числом. Следовательно, выражение $30 \cdot 5^{n-1}$ всегда делится на 30 нацело. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.