Номер 778, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 778, страница 160.

Условие.

778. Упростите:

а) $(a^2 - 7)(a + 2) - (2a - 1)(a - 14);$

б) $(2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b^3 - 3b);$

в) $2x^2 - (x - 2y)(2x + y);$

г) $(m - 3n)(m + 2n) - m(m - n);$

д) $(a - 2b)(b + 4a) - 7b(a + b);$

е) $(p - q)(p + 3q) - (p^2 + 3q^2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $(a^2 - 7)(a + 2) - (2a - 1)(a - 14)$ сначала раскроем скобки в каждом произведении.

1. Раскроем первые скобки: $(a^2 - 7)(a + 2) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot 2 - 7 \cdot a - 7 \cdot 2 = a^3 + 2a^2 - 7a - 14$.

2. Раскроем вторые скобки: $(2a - 1)(a - 14) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-14) - 1 \cdot a - 1 \cdot (-14) = 2a^2 - 28a - a + 14 = 2a^2 - 29a + 14$.

3. Подставим полученные выражения в исходное: $(a^3 + 2a^2 - 7a - 14) - (2a^2 - 29a + 14)$.

4. Раскроем скобки, учитывая знак минус, и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + 2a^2 - 7a - 14 - 2a^2 + 29a - 14 = a^3 + (2a^2 - 2a^2) + (-7a + 29a) + (-14 - 14) = a^3 + 22a - 28$.

Ответ: $a^3 + 22a - 28$.

б) Для упрощения выражения $(2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b^3 - 3b)$ раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем первые скобки: $(2 - b)(1 + 2b) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2b - b \cdot 1 - b \cdot 2b = 2 + 4b - b - 2b^2 = 2 + 3b - 2b^2$.

2. Раскроем вторые скобки: $(1 + b)(b^3 - 3b) = 1 \cdot b^3 + 1 \cdot (-3b) + b \cdot b^3 + b \cdot (-3b) = b^3 - 3b + b^4 - 3b^2$.

3. Сложим полученные многочлены:

$(2 + 3b - 2b^2) + (b^4 + b^3 - 3b - 3b^2) = 2 + 3b - 2b^2 + b^4 + b^3 - 3b - 3b^2$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, располагая их по убыванию степеней:

$b^4 + b^3 + (-2b^2 - 3b^2) + (3b - 3b) + 2 = b^4 + b^3 - 5b^2 + 2$.

Ответ: $b^4 + b^3 - 5b^2 + 2$.

в) Для упрощения выражения $2x^2 - (x - 2y)(2x + y)$ раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки в произведении: $(x - 2y)(2x + y) = x \cdot 2x + x \cdot y - 2y \cdot 2x - 2y \cdot y = 2x^2 + xy - 4xy - 2y^2 = 2x^2 - 3xy - 2y^2$.

2. Подставим полученное выражение в исходное:

$2x^2 - (2x^2 - 3xy - 2y^2) = 2x^2 - 2x^2 + 3xy + 2y^2$.

3. Приведем подобные слагаемые: $(2x^2 - 2x^2) + 3xy + 2y^2 = 3xy + 2y^2$.

Ответ: $3xy + 2y^2$.

г) Для упрощения выражения $(m - 3n)(m + 2n) - m(m - n)$ раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем первые скобки: $(m - 3n)(m + 2n) = m^2 + 2mn - 3mn - 6n^2 = m^2 - mn - 6n^2$.

2. Раскроем вторые скобки: $m(m - n) = m^2 - mn$.

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$(m^2 - mn - 6n^2) - (m^2 - mn) = m^2 - mn - 6n^2 - m^2 + mn$.

4. Приведем подобные слагаемые: $(m^2 - m^2) + (-mn + mn) - 6n^2 = -6n^2$.

Ответ: $-6n^2$.

д) Для упрощения выражения $(a - 2b)(b + 4a) - 7b(a + b)$ раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем первые скобки: $(a - 2b)(b + 4a) = a \cdot b + a \cdot 4a - 2b \cdot b - 2b \cdot 4a = ab + 4a^2 - 2b^2 - 8ab = 4a^2 - 7ab - 2b^2$.

2. Раскроем вторые скобки: $-7b(a + b) = -7ab - 7b^2$.

3. Сложим полученные выражения:

$(4a^2 - 7ab - 2b^2) + (-7ab - 7b^2) = 4a^2 - 7ab - 2b^2 - 7ab - 7b^2$.

4. Приведем подобные слагаемые: $4a^2 + (-7ab - 7ab) + (-2b^2 - 7b^2) = 4a^2 - 14ab - 9b^2$.

Ответ: $4a^2 - 14ab - 9b^2$.

е) Для упрощения выражения $(p - q)(p + 3q) - (p^2 + 3q^2)$ раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем первые скобки: $(p - q)(p + 3q) = p^2 + 3pq - qp - 3q^2 = p^2 + 2pq - 3q^2$.

2. Подставим полученное выражение в исходное:

$(p^2 + 2pq - 3q^2) - (p^2 + 3q^2) = p^2 + 2pq - 3q^2 - p^2 - 3q^2$.

3. Приведем подобные слагаемые: $(p^2 - p^2) + 2pq + (-3q^2 - 3q^2) = 2pq - 6q^2$.

Ответ: $2pq - 6q^2$.