Номер 782, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 782, страница 160.

Условие.

782. Докажите, что значения выражения не зависят от значения переменной:

а) $(a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5);$

б) $(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) - (2x^2 + 7x + 17)(x - 4);$

в) $(b^2 + 4b - 5)(b - 2) + (3 - b)(b^2 + 5b + 2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо упростить его. Если в результате упрощения переменная сократится и останется только числовое значение, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение $(a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5)$.

Сначала раскроем скобки в первом произведении многочленов:

$(a - 3)(a^2 - 8a + 5) = a \cdot a^2 + a \cdot (-8a) + a \cdot 5 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot (-8a) - 3 \cdot 5 = a^3 - 8a^2 + 5a - 3a^2 + 24a - 15$.

Приведем подобные слагаемые: $a^3 - (8a^2 + 3a^2) + (5a + 24a) - 15 = a^3 - 11a^2 + 29a - 15$.

Теперь раскроем скобки во втором произведении:

$(a - 8)(a^2 - 3a + 5) = a \cdot a^2 + a \cdot (-3a) + a \cdot 5 - 8 \cdot a^2 - 8 \cdot (-3a) - 8 \cdot 5 = a^3 - 3a^2 + 5a - 8a^2 + 24a - 40$.

Приведем подобные слагаемые: $a^3 - (3a^2 + 8a^2) + (5a + 24a) - 40 = a^3 - 11a^2 + 29a - 40$.

Теперь выполним вычитание полученных выражений:

$(a^3 - 11a^2 + 29a - 15) - (a^3 - 11a^2 + 29a - 40) = a^3 - 11a^2 + 29a - 15 - a^3 + 11a^2 - 29a + 40$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(a^3 - a^3) + (-11a^2 + 11a^2) + (29a - 29a) + (-15 + 40) = 0 + 0 + 0 + 25 = 25$.

Результатом является число 25, которое не зависит от значения переменной $a$. Утверждение доказано.

Ответ: 25.

б) Рассмотрим выражение $(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) - (2x^2 + 7x + 17)(x - 4)$.

Упростим его, раскрыв скобки. Сначала первое произведение:

$(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) = x^2(2x + 5) - 3x(2x + 5) + 2(2x + 5) = 2x^3 + 5x^2 - 6x^2 - 15x + 4x + 10$.

Приведем подобные: $2x^3 - x^2 - 11x + 10$.

Теперь второе произведение:

$(2x^2 + 7x + 17)(x - 4) = 2x^2(x - 4) + 7x(x - 4) + 17(x - 4) = 2x^3 - 8x^2 + 7x^2 - 28x + 17x - 68$.

Приведем подобные: $2x^3 - x^2 - 11x - 68$.

Теперь вычтем второе упрощенное выражение из первого:

$(2x^3 - x^2 - 11x + 10) - (2x^3 - x^2 - 11x - 68) = 2x^3 - x^2 - 11x + 10 - 2x^3 + x^2 + 11x + 68$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(2x^3 - 2x^3) + (-x^2 + x^2) + (-11x + 11x) + (10 + 68) = 0 + 0 + 0 + 78 = 78$.

Результатом является число 78, которое не зависит от значения переменной $x$. Утверждение доказано.

Ответ: 78.

в) Рассмотрим выражение $(b^2 + 4b - 5)(b - 2) + (3 - b)(b^2 + 5b + 2)$.

Раскроем скобки в первом произведении:

$(b^2 + 4b - 5)(b - 2) = b^2(b - 2) + 4b(b - 2) - 5(b - 2) = b^3 - 2b^2 + 4b^2 - 8b - 5b + 10$.

Приведем подобные: $b^3 + 2b^2 - 13b + 10$.

Раскроем скобки во втором произведении:

$(3 - b)(b^2 + 5b + 2) = 3(b^2 + 5b + 2) - b(b^2 + 5b + 2) = 3b^2 + 15b + 6 - b^3 - 5b^2 - 2b$.

Приведем подобные: $-b^3 - 2b^2 + 13b + 6$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(b^3 + 2b^2 - 13b + 10) + (-b^3 - 2b^2 + 13b + 6) = b^3 + 2b^2 - 13b + 10 - b^3 - 2b^2 + 13b + 6$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(b^3 - b^3) + (2b^2 - 2b^2) + (-13b + 13b) + (10 + 6) = 0 + 0 + 0 + 16 = 16$.

Результатом является число 16, которое не зависит от значения переменной $b$. Утверждение доказано.

Ответ: 16.