Номер 789, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 789, страница 161.

Условие.

789. Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 $\text{см}^2$. Найдите площадь первоначального прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть первоначальная длина прямоугольника равна $l$ см, а первоначальная ширина — $w$ см.

Согласно условию, периметр прямоугольника равен 30 см. Формула периметра: $P = 2(l + w)$. Составим первое уравнение:
$2(l + w) = 30$
Разделим обе части на 2:
$l + w = 15$

Первоначальная площадь прямоугольника равна $S_1 = l \cdot w$.

Если длину уменьшить на 3 см, то новая длина станет $(l - 3)$ см. Если ширину увеличить на 5 см, то новая ширина станет $(w + 5)$ см. Новая площадь прямоугольника будет равна $S_2 = (l - 3)(w + 5)$.

По условию, новая площадь на 8 см² меньше первоначальной, то есть $S_2 = S_1 - 8$. Составим второе уравнение:
$(l - 3)(w + 5) = l \cdot w - 8$
Раскроем скобки в левой части:
$lw + 5l - 3w - 15 = lw - 8$
Вычтем $lw$ из обеих частей уравнения и перенесем число -15 в правую часть с противоположным знаком:
$5l - 3w = -8 + 15$
$5l - 3w = 7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} l + w = 15 \\ 5l - 3w = 7 \end{cases}$

Для решения системы выразим $l$ из первого уравнения: $l = 15 - w$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$5(15 - w) - 3w = 7$
$75 - 5w - 3w = 7$
$75 - 8w = 7$
$8w = 75 - 7$
$8w = 68$
$w = \frac{68}{8} = 8.5$ см.

Теперь найдем первоначальную длину $l$:
$l = 15 - w = 15 - 8.5 = 6.5$ см.

Итак, первоначальные размеры прямоугольника — 6,5 см и 8,5 см.

Требуется найти первоначальную площадь прямоугольника.
$S_1 = l \cdot w = 6.5 \cdot 8.5 = 55.25$ см².

Ответ: $55.25 \text{ см}^2$.