Номер 795, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 795, страница 162.

Условие.

795. Докажите тождество:

a) $(y^4 + y^3)(y^2 - y) = y^4(y + 1)(y - 1);$

б) $(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3);$

в) $(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4;$

г) $(c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = c^8 + c^4 + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать тождество $(y^4 + y^3)(y^2 - y) = y^4(y + 1)(y - 1)$, преобразуем его левую часть. Вынесем общие множители за скобки в каждом из двучленов.

Из первого множителя $(y^4 + y^3)$ можно вынести $y^3$:
$y^4 + y^3 = y^3(y + 1)$

Из второго множителя $(y^2 - y)$ можно вынести $y$:
$y^2 - y = y(y - 1)$

Теперь перемножим полученные выражения:

$(y^4 + y^3)(y^2 - y) = (y^3(y + 1)) \cdot (y(y - 1))$

Сгруппируем множители и упростим:

$y^3 \cdot y \cdot (y + 1)(y - 1) = y^{3+1}(y + 1)(y - 1) = y^4(y + 1)(y - 1)$

Левая часть тождества после преобразований стала идентична правой части. Тождество доказано.

Ответ: $(y^4 + y^3)(y^2 - y) = y^3(y+1) \cdot y(y-1) = y^4(y+1)(y-1)$. Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)$, разложим на множители выражения в скобках в левой части.

Разложим первый множитель $(a^2 + 3a)$, вынеся общий множитель $a$ за скобку:

$a^2 + 3a = a(a + 3)$

Разложим второй множитель, квадратный трехчлен $a^2 + 3a + 2$. Для этого найдем корни уравнения $a^2 + 3a + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $a_1 + a_2 = -3$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 2$. Этим условиям удовлетворяют корни $a_1 = -1$ и $a_2 = -2$.

Следовательно, трехчлен можно разложить на множители: $a^2 + 3a + 2 = (a - (-1))(a - (-2)) = (a + 1)(a + 2)$.

Подставим разложенные выражения в левую часть исходного равенства:

$(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = (a(a + 3)) \cdot ((a + 1)(a + 2))$

Переставив множители, получим:

$a(a + 1)(a + 2)(a + 3)$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.

Ответ: $(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = a(a+3)(a+1)(a+2) = a(a+1)(a+2)(a+3)$. Тождество доказано.

в) Докажем тождество $(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4$.

Преобразуем левую часть. Для удобства сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы применить формулу разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

$(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = ((a^2 + b^2) + ab)((a^2 + b^2) - ab)$

Пусть $x = a^2 + b^2$ и $y = ab$. Тогда выражение принимает вид $(x+y)(x-y)$.

Применим формулу разности квадратов:

$(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$

Теперь раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат сумму $(a^2 + b^2)$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a^2 + b^2)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

Далее, $(ab)^2 = a^2b^2$.

Подставим полученные выражения обратно и упростим:

$(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = a^4 + (2a^2b^2 - a^2b^2) + b^4 = a^4 + a^2b^2 + b^4$

Левая часть после преобразований стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $((a^2 + b^2) + ab)((a^2 + b^2) - ab) = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2 = a^4 + a^2b^2 + b^4$. Тождество доказано.

г) Докажем тождество $(c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = c^8 + c^4 + 1$.

Преобразуем левую часть, используя тот же метод, что и в пункте в). Сгруппируем слагаемые так, чтобы применить формулу разности квадратов.

$(c^4 + 1 - c^2)(c^4 + 1 + c^2) = ((c^4 + 1) - c^2)((c^4 + 1) + c^2)$

Здесь можно применить формулу $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = c^4 + 1$ и $y = c^2$.

$(c^4 + 1)^2 - (c^2)^2$

Раскроем скобки. Возведем в квадрат сумму $(c^4+1)$:

$(c^4+1)^2 = (c^4)^2 + 2 \cdot c^4 \cdot 1 + 1^2 = c^8 + 2c^4 + 1$

Возведем в квадрат $c^2$:

$(c^2)^2 = c^4$

Подставим результаты в наше выражение и приведем подобные слагаемые:

$(c^8 + 2c^4 + 1) - c^4 = c^8 + (2c^4 - c^4) + 1 = c^8 + c^4 + 1$

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.

Ответ: $((c^4 + 1) - c^2)((c^4 + 1) + c^2) = (c^4 + 1)^2 - (c^2)^2 = c^8 + 2c^4 + 1 - c^4 = c^8 + c^4 + 1$. Тождество доказано.