Номер 797, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 797, страница 162.

Условие.

797. Докажите, что если $b + c = 10$, то

$(10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc.$

Воспользовавшись этой формулой, вычислите:

a) $23 \cdot 27;$

б) $42 \cdot 48;$

в) $59 \cdot 51;$

г) $84 \cdot 86.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Докажем тождество. Раскроем скобки в левой части выражения:

$(10a + b)(10a + c) = (10a)^2 + 10ac + 10ab + bc = 100a^2 + 10a(b+c) + bc$

По условию $b + c = 10$. Подставим это значение в полученное выражение:

$100a^2 + 10a(10) + bc = 100a^2 + 100a + bc$

Вынесем общий множитель $100a$ за скобки:

$100a(a + 1) + bc$

Мы получили правую часть исходного тождества. Таким образом, доказано, что если $b + c = 10$, то $(10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc$.

Воспользуемся этой формулой для вычислений.

а) Для выражения $23 \cdot 27$ имеем: $a=2$, $b=3$, $c=7$. Проверяем условие: $b+c = 3+7=10$.
$23 \cdot 27 = (10 \cdot 2 + 3)(10 \cdot 2 + 7) = 100 \cdot 2(2+1) + 3 \cdot 7 = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 21 = 600 + 21 = 621$.
Ответ: 621.

б) Для выражения $42 \cdot 48$ имеем: $a=4$, $b=2$, $c=8$. Проверяем условие: $b+c = 2+8=10$.
$42 \cdot 48 = (10 \cdot 4 + 2)(10 \cdot 4 + 8) = 100 \cdot 4(4+1) + 2 \cdot 8 = 100 \cdot 4 \cdot 5 + 16 = 2000 + 16 = 2016$.
Ответ: 2016.

в) Для выражения $59 \cdot 51$ имеем: $a=5$, $b=9$, $c=1$. Проверяем условие: $b+c = 9+1=10$.
$59 \cdot 51 = (10 \cdot 5 + 9)(10 \cdot 5 + 1) = 100 \cdot 5(5+1) + 9 \cdot 1 = 100 \cdot 5 \cdot 6 + 9 = 3000 + 9 = 3009$.
Ответ: 3009.

г) Для выражения $84 \cdot 86$ имеем: $a=8$, $b=4$, $c=6$. Проверяем условие: $b+c = 4+6=10$.
$84 \cdot 86 = (10 \cdot 8 + 4)(10 \cdot 8 + 6) = 100 \cdot 8(8+1) + 4 \cdot 6 = 100 \cdot 8 \cdot 9 + 24 = 7200 + 24 = 7224$.
Ответ: 7224.