Номер 802, страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 802, страница 166.

Условие.

802. Проверьте, что равенство

$n^2 + (n + 2)^2 + (n + 9)^2 = (n - 1)^2 + (n + 5)^2 + (n + 7)^2 + 10$

верно при $n = 3$. Покажите, что это равенство верно при любом $n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Проверим, что равенство верно при n = 3

Для этого подставим значение $n=3$ в левую и правую части данного равенства.

Вычислим значение левой части:

$n^2 + (n+2)^2 + (n+9)^2 = 3^2 + (3+2)^2 + (3+9)^2 = 3^2 + 5^2 + 12^2 = 9 + 25 + 144 = 178$.

Вычислим значение правой части:

$(n-1)^2 + (n+5)^2 + (n+7)^2 + 10 = (3-1)^2 + (3+5)^2 + (3+7)^2 + 10 = 2^2 + 8^2 + 10^2 + 10 = 4 + 64 + 100 + 10 = 178$.

Поскольку значения левой и правой частей совпали ($178 = 178$), равенство действительно верно при $n=3$.

Ответ: При $n=3$ левая часть равна $178$ и правая часть равна $178$, следовательно, равенство верно.

Покажем, что это равенство верно при любом n

Для этого преобразуем (упростим) левую и правую части равенства и покажем, что они тождественно равны.

Преобразуем левую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$n^2 + (n+2)^2 + (n+9)^2 = n^2 + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 18n + 81)$

$= (n^2+n^2+n^2) + (4n+18n) + (4+81) = 3n^2 + 22n + 85$.

Преобразуем правую часть, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(n-1)^2 + (n+5)^2 + (n+7)^2 + 10 = (n^2 - 2n + 1) + (n^2 + 10n + 25) + (n^2 + 14n + 49) + 10$

$= (n^2+n^2+n^2) + (-2n+10n+14n) + (1+25+49+10) = 3n^2 + 22n + 85$.

Так как в результате преобразований левая и правая части равенства свелись к одному и тому же выражению $3n^2 + 22n + 85$, данное равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $n$.

Ответ: Равенство верно при любом $n$, так как оно является тождеством ($3n^2 + 22n + 85 = 3n^2 + 22n + 85$).