Номер 806, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 806, страница 167.

Условие.

806. Из выражений $(y-x)^2$, $(y+x)^2$, $(-y+x)^2$, $(-x+y)^2$, $(-x-y)^2$ выберите те, которые тождественно равны выражению:

а) $(x+y)^2$;

б) $(x-y)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи мы будем преобразовывать каждое из предложенных выражений и сравнивать результат с выражениями $(x + y)^2$ и $(x - y)^2$. Мы будем использовать следующие свойства:

• Переместительный закон сложения: $a + b = b + a$.
• Свойство квадрата противоположного числа: $(-a)^2 = a^2$. Из этого следует, что $(a - b)^2 = (-(b - a))^2 = (b - a)^2$.
• Вынесение общего множителя: $-a - b = -(a + b)$.

Проанализируем каждое выражение из списка: $(y - x)^2$, $(y + x)^2$, $(-y + x)^2$, $(-x + y)^2$, $(-x - y)^2$.

1. $(y - x)^2$: Используя свойство $(a-b)^2 = (b-a)^2$, получаем $(y - x)^2 = (x - y)^2$.

2. $(y + x)^2$: По переместительному закону сложения $y + x = x + y$, следовательно $(y + x)^2 = (x + y)^2$.

3. $(-y + x)^2$: По переместительному закону сложения $-y + x = x - y$, следовательно $(-y + x)^2 = (x - y)^2$.

4. $(-x + y)^2$: По переместительному закону сложения $-x + y = y - x$, следовательно $(-x + y)^2 = (y - x)^2$. Как мы уже выяснили в пункте 1, $(y - x)^2 = (x - y)^2$.

5. $(-x - y)^2$: Вынесем минус за скобки: $(-x - y) = -(x + y)$. Тогда $(-x - y)^2 = (-(x + y))^2 = (x + y)^2$.

Теперь соберём результаты.

а) Выражения, тождественно равные $(x + y)^2$:

Из нашего анализа следует, что выражению $(x + y)^2$ тождественно равны:

• $(y + x)^2$, так как $(y + x)^2 = (x + y)^2$.
• $(-x - y)^2$, так как $(-x - y)^2 = (-(x + y))^2 = (x + y)^2$.

Ответ: $(y + x)^2$ и $(-x - y)^2$.

б) Выражения, тождественно равные $(x - y)^2$:

Из нашего анализа следует, что выражению $(x - y)^2$ тождественно равны:

• $(y - x)^2$, так как $(y - x)^2 = (x - y)^2$.
• $(-y + x)^2$, так как $(-y + x)^2 = (x - y)^2$.
• $(-x + y)^2$, так как $(-x + y)^2 = (y - x)^2 = (x - y)^2$.

Ответ: $(y - x)^2$, $(-y + x)^2$, $(-x + y)^2$.