Страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

805. Преобразуйте в многочлен:

а) $(-x + 5)^2$;

б) $(-z - 2)^2$;

в) $(-n + 4)^2$;

г) $(-m - 10)^2$.

а) Для того чтобы преобразовать выражение $(-x + 5)^2$ в многочлен, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. В данном случае $a = -x$ и $b = 5$.
$(-x + 5)^2 = (-x)^2 + 2 \cdot (-x) \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$.
Также можно поменять слагаемые местами и использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(-x + 5)^2 = (5 - x)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 = 25 - 10x + x^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной: $x^2 - 10x + 25$.
Ответ: $x^2 - 10x + 25$

б) Для преобразования выражения $(-z - 2)^2$ можно вынести $-1$ за скобки. Так как $(-A)^2 = A^2$, то $(-z - 2)^2 = (-(z + 2))^2 = (z + 2)^2$.
Теперь применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a = z$ и $b = 2$.
$(z + 2)^2 = z^2 + 2 \cdot z \cdot 2 + 2^2 = z^2 + 4z + 4$.
Ответ: $z^2 + 4z + 4$

в) Для преобразования выражения $(-n + 4)^2$ в многочлен, применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Здесь $a = -n$ и $b = 4$.
$(-n + 4)^2 = (-n)^2 + 2 \cdot (-n) \cdot 4 + 4^2 = n^2 - 8n + 16$.
Как и в пункте а), можно поменять слагаемые местами:
$(-n + 4)^2 = (4 - n)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot n + n^2 = 16 - 8n + n^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $n^2 - 8n + 16$.
Ответ: $n^2 - 8n + 16$

г) Для преобразования выражения $(-m - 10)^2$, как и в пункте б), вынесем $-1$ за скобки: $(-m - 10)^2 = (-(m + 10))^2 = (m + 10)^2$.
Далее используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a = m$ и $b = 10$.
$(m + 10)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 10 + 10^2 = m^2 + 20m + 100$.
Ответ: $m^2 + 20m + 100$

808. Представьте в виде многочлена квадрат двучлена:

а) $(-9a + 4b)^2$;

б) $(-11x - 7y)^2$;

в) $(-0,8x - 0,5b)^2$;

г) $(-1\frac{1}{3}p + 6q)^2$;

д) $(0,08a - 50b)^2$;

е) $(-0,5x - 60y)^2$.

Для решения данной задачи используются формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Также полезно помнить, что $(-a-b)^2 = (a+b)^2$ и $(-a+b)^2 = (a-b)^2$.

а) Для преобразования выражения $(-9a + 4b)^2$ можно поменять слагаемые местами и использовать формулу квадрата разности.
$(-9a + 4b)^2 = (4b - 9a)^2$
Применим формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=4b$ и $y=9a$:
$(4b - 9a)^2 = (4b)^2 - 2 \cdot (4b) \cdot (9a) + (9a)^2 = 16b^2 - 72ab + 81a^2$.
Представим многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $a$:
$81a^2 - 72ab + 16b^2$.
Ответ: $81a^2 - 72ab + 16b^2$.

б) В выражении $(-11x - 7y)^2$ можно вынести за скобки общий множитель $-1$.
$(-11x - 7y)^2 = (-(11x + 7y))^2 = (-1)^2 \cdot (11x + 7y)^2 = (11x + 7y)^2$.
Теперь применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=11x$ и $b=7y$:
$(11x + 7y)^2 = (11x)^2 + 2 \cdot (11x) \cdot (7y) + (7y)^2 = 121x^2 + 154xy + 49y^2$.
Ответ: $121x^2 + 154xy + 49y^2$.

в) Выражение $(-0,8x - 0,5b)^2$ преобразуется аналогично предыдущему пункту.
$(-0,8x - 0,5b)^2 = (-(0,8x + 0,5b))^2 = (0,8x + 0,5b)^2$.
Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=0,8x$ и $b=0,5b$:
$(0,8x + 0,5b)^2 = (0,8x)^2 + 2 \cdot (0,8x) \cdot (0,5b) + (0,5b)^2 = 0,64x^2 + 0,8xb + 0,25b^2$.
Ответ: $0,64x^2 + 0,8xb + 0,25b^2$.

г) Преобразуем выражение $(-1\frac{1}{3}p + 6q)^2$. Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Выражение примет вид $(-\frac{4}{3}p + 6q)^2$, что равносильно $(6q - \frac{4}{3}p)^2$.
Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=6q$ и $b=\frac{4}{3}p$:
$(6q - \frac{4}{3}p)^2 = (6q)^2 - 2 \cdot (6q) \cdot (\frac{4}{3}p) + (\frac{4}{3}p)^2 = 36q^2 - \frac{2 \cdot 6 \cdot 4}{3}pq + \frac{16}{9}p^2 = 36q^2 - 16pq + \frac{16}{9}p^2$.
Запишем в стандартном виде: $\frac{16}{9}p^2 - 16pq + 36q^2$.
Ответ: $\frac{16}{9}p^2 - 16pq + 36q^2$.

д) Для выражения $(0,08a - 50b)^2$ применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x=0,08a$ и $y=50b$:
$(0,08a - 50b)^2 = (0,08a)^2 - 2 \cdot (0,08a) \cdot (50b) + (50b)^2 = 0,0064a^2 - 8ab + 2500b^2$.
Вычисления: $(0,08)^2 = 0,0064$; $2 \cdot 0,08 \cdot 50 = 0,16 \cdot 50 = 8$; $50^2 = 2500$.
Ответ: $0,0064a^2 - 8ab + 2500b^2$.

е) Выражение $(-0,5x - 60y)^2$ преобразуется по аналогии с пунктом б).
$(-0,5x - 60y)^2 = (-(0,5x + 60y))^2 = (0,5x + 60y)^2$.
Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=0,5x$ и $b=60y$:
$(0,5x + 60y)^2 = (0,5x)^2 + 2 \cdot (0,5x) \cdot (60y) + (60y)^2 = 0,25x^2 + 60xy + 3600y^2$.
Вычисления: $(0,5)^2 = 0,25$; $2 \cdot 0,5 \cdot 60 = 1 \cdot 60 = 60$; $60^2 = 3600$.
Ответ: $0,25x^2 + 60xy + 3600y^2$.

811. Выполните возведение в квадрат:

а) $(x^2 - 5)^2$;

б) $(7 - y^3)^2$;

в) $(2a + b^4)^2$;

г) $(-3p + q^8)^2$.

а) Для возведения в квадрат выражения $(x^2 - 5)^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = x^2$ и $b = 5$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x^2 - 5)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 5 + 5^2 = x^{2 \cdot 2} - 10x^2 + 25 = x^4 - 10x^2 + 25$.
Ответ: $x^4 - 10x^2 + 25$.

б) Для выражения $(7 - y^3)^2$ также применим формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = 7$ и $b = y^3$.
Подставим значения в формулу:
$(7 - y^3)^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot y^3 + (y^3)^2 = 49 - 14y^3 + y^{3 \cdot 2} = 49 - 14y^3 + y^6$.
Ответ: $49 - 14y^3 + y^6$.

в) Для возведения в квадрат выражения $(2a + b^4)^2$ используем формулу "квадрат суммы": $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 2a$ и $b = b^4$.
Подставим значения в формулу:
$(2a + b^4)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot b^4 + (b^4)^2 = 4a^2 + 4ab^4 + b^{4 \cdot 2} = 4a^2 + 4ab^4 + b^8$.
Ответ: $4a^2 + 4ab^4 + b^8$.

г) Для выражения $(-3p + q^8)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = -3p$ и $b = q^8$.
Подставим значения в формулу:
$(-3p + q^8)^2 = (-3p)^2 + 2 \cdot (-3p) \cdot q^8 + (q^8)^2 = 9p^2 - 6pq^8 + q^{8 \cdot 2} = 9p^2 - 6pq^8 + q^{16}$.
Ответ: $9p^2 - 6pq^8 + q^{16}$.

814. Замените знак * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

а) $(* + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2;$

б) $(3x + *)^2 = 9x^2 + 6ax + a^2;$

в) $(* - 2m)^2 = 100 - 40m + 4m^2;$

г) $(* - 9c)^2 = 36a^4 - 108a^2c + 81c^2;$

д) $(5y + *)^2 = 25y^2 + 4x^3y + 0,16x^6;$

е) $(3a + 2,5b)^2 = 9a^2 + 6,25b^2 + *.$

а) Чтобы равенство $(* + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$ было тождеством, необходимо, чтобы выражение в правой части являлось полным квадратом выражения в левой части. Используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$.
Правая часть: $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2$.
Сравнивая с левой частью $(* + 2b)^2$, видим, что на месте знака $*$ должен стоять одночлен $a$.
Ответ: $a$.

б) В равенстве $(3x + *)^2 = 9x^2 + 6ax + a^2$ применим ту же формулу квадрата суммы. Правая часть: $9x^2 + 6ax + a^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot a + (a)^2 = (3x+a)^2$.
Сравнивая с левой частью $(3x + *)^2$, заключаем, что знак $*$ нужно заменить на одночлен $a$.
Ответ: $a$.

в) Рассмотрим равенство $(* - 2m)^2 = 100 - 40m + 4m^2$. Здесь используется формула квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.
Правая часть: $100 - 40m + 4m^2 = (10)^2 - 2 \cdot 10 \cdot (2m) + (2m)^2 = (10-2m)^2$.
Сравнивая с левой частью $(* - 2m)^2$, находим, что на месте знака $*$ должен стоять одночлен $10$.
Ответ: $10$.

г) В равенстве $(* - 9c)^2 = 36a^4 - 108a^2c + 81c^2$ снова используем формулу квадрата разности.
Правая часть: $36a^4 - 108a^2c + 81c^2 = (6a^2)^2 - 2 \cdot (6a^2) \cdot (9c) + (9c)^2 = (6a^2-9c)^2$.
Сравнивая с левой частью $(* - 9c)^2$, получаем, что знак $*$ следует заменить на одночлен $6a^2$.
Ответ: $6a^2$.

д) Для равенства $(5y + *)^2 = 25y^2 + 4x^3y + 0,16x^6$ используем формулу квадрата суммы.
Правая часть: $25y^2 + 4x^3y + 0,16x^6 = (5y)^2 + 2 \cdot (5y) \cdot (0,4x^3) + (0,4x^3)^2 = (5y+0,4x^3)^2$.
Сравнивая с левой частью $(5y + *)^2$, видим, что знак $*$ нужно заменить на одночлен $0,4x^3$.
Ответ: $0,4x^3$.

е) В равенстве $(3a + 2,5b)^2 = 9a^2 + 6,25b^2 + *$ необходимо найти недостающий член в разложении квадрата суммы.
Раскроем скобки в левой части по формуле $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$, где $A=3a$ и $B=2,5b$:
$(3a + 2,5b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot (2,5b) + (2,5b)^2 = 9a^2 + 15ab + 6,25b^2$.
Сравнивая полученное выражение с правой частью $9a^2 + 6,25b^2 + *$, видим, что недостающий член (знак $*$) — это удвоенное произведение $2AB$, равное $15ab$.
Ответ: $15ab$.

806. Из выражений $(y-x)^2$, $(y+x)^2$, $(-y+x)^2$, $(-x+y)^2$, $(-x-y)^2$ выберите те, которые тождественно равны выражению:

а) $(x+y)^2$;

б) $(x-y)^2$.

Для решения этой задачи мы будем преобразовывать каждое из предложенных выражений и сравнивать результат с выражениями $(x + y)^2$ и $(x - y)^2$. Мы будем использовать следующие свойства:

• Переместительный закон сложения: $a + b = b + a$.
• Свойство квадрата противоположного числа: $(-a)^2 = a^2$. Из этого следует, что $(a - b)^2 = (-(b - a))^2 = (b - a)^2$.
• Вынесение общего множителя: $-a - b = -(a + b)$.

Проанализируем каждое выражение из списка: $(y - x)^2$, $(y + x)^2$, $(-y + x)^2$, $(-x + y)^2$, $(-x - y)^2$.

1. $(y - x)^2$: Используя свойство $(a-b)^2 = (b-a)^2$, получаем $(y - x)^2 = (x - y)^2$.

2. $(y + x)^2$: По переместительному закону сложения $y + x = x + y$, следовательно $(y + x)^2 = (x + y)^2$.

3. $(-y + x)^2$: По переместительному закону сложения $-y + x = x - y$, следовательно $(-y + x)^2 = (x - y)^2$.

4. $(-x + y)^2$: По переместительному закону сложения $-x + y = y - x$, следовательно $(-x + y)^2 = (y - x)^2$. Как мы уже выяснили в пункте 1, $(y - x)^2 = (x - y)^2$.

5. $(-x - y)^2$: Вынесем минус за скобки: $(-x - y) = -(x + y)$. Тогда $(-x - y)^2 = (-(x + y))^2 = (x + y)^2$.

Теперь соберём результаты.

а) Выражения, тождественно равные $(x + y)^2$:

Из нашего анализа следует, что выражению $(x + y)^2$ тождественно равны:

• $(y + x)^2$, так как $(y + x)^2 = (x + y)^2$.
• $(-x - y)^2$, так как $(-x - y)^2 = (-(x + y))^2 = (x + y)^2$.

Ответ: $(y + x)^2$ и $(-x - y)^2$.

б) Выражения, тождественно равные $(x - y)^2$:

Из нашего анализа следует, что выражению $(x - y)^2$ тождественно равны:

• $(y - x)^2$, так как $(y - x)^2 = (x - y)^2$.
• $(-y + x)^2$, так как $(-y + x)^2 = (x - y)^2$.
• $(-x + y)^2$, так как $(-x + y)^2 = (y - x)^2 = (x - y)^2$.

Ответ: $(y - x)^2$, $(-y + x)^2$, $(-x + y)^2$.

809. Преобразуйте в многочлен:

а) $(-3a + 10b)^2;$

б) $(-6m - n)^2;$

в) $(8x - 0,3y)^2;$

г) $\left(5a + \frac{1}{15}b\right)^2;$

д) $(-0,2p - 10q)^2;$

е) $(0,8x - 0,1y)^2.$

а) Чтобы преобразовать выражение $(-3a + 10b)^2$ в многочлен, можно воспользоваться формулой квадрата суммы $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$, представив его как $(10b - 3a)^2$ и применив формулу квадрата разности, или раскрыв скобки как есть. Воспользуемся формулой квадрата суммы, где $X=-3a$, а $Y=10b$.

$(-3a + 10b)^2 = (-3a)^2 + 2 \cdot (-3a) \cdot 10b + (10b)^2 = 9a^2 - 60ab + 100b^2$.

Ответ: $9a^2 - 60ab + 100b^2$.

б) В выражении $(-6m - n)^2$ вынесем знак минус за скобки. Так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного, получим: $(-6m - n)^2 = (-(6m + n))^2 = (6m + n)^2$. Теперь применим формулу квадрата суммы $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$, где $X=6m$ и $Y=n$.

$(6m + n)^2 = (6m)^2 + 2 \cdot 6m \cdot n + n^2 = 36m^2 + 12mn + n^2$.

Ответ: $36m^2 + 12mn + n^2$.

в) Для преобразования выражения $(8x - 0,3y)^2$ в многочлен используем формулу квадрата разности $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$. В данном случае $X=8x$ и $Y=0,3y$.

$(8x - 0,3y)^2 = (8x)^2 - 2 \cdot 8x \cdot 0,3y + (0,3y)^2 = 64x^2 - 4,8xy + 0,09y^2$.

Ответ: $64x^2 - 4,8xy + 0,09y^2$.

г) Для выражения $(5a + \frac{1}{15}b)^2$ применим формулу квадрата суммы $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$, где $X=5a$ и $Y=\frac{1}{15}b$.

$(5a + \frac{1}{15}b)^2 = (5a)^2 + 2 \cdot 5a \cdot \frac{1}{15}b + (\frac{1}{15}b)^2 = 25a^2 + \frac{10}{15}ab + \frac{1}{225}b^2$.

Сократим дробь в среднем члене: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. В результате получаем:

$25a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{1}{225}b^2$.

Ответ: $25a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{1}{225}b^2$.

д) Преобразуем выражение $(-0,2p - 10q)^2$, вынеся минус за скобки: $(-0,2p - 10q)^2 = (-(0,2p + 10q))^2 = (0,2p + 10q)^2$. Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$, где $X=0,2p$ и $Y=10q$.

$(0,2p + 10q)^2 = (0,2p)^2 + 2 \cdot 0,2p \cdot 10q + (10q)^2 = 0,04p^2 + 4pq + 100q^2$.

Ответ: $0,04p^2 + 4pq + 100q^2$.

е) Чтобы преобразовать выражение $(0,8x - 0,1y)^2$ в многочлен, применим формулу квадрата разности $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$. Здесь $X=0,8x$ и $Y=0,1y$.

$(0,8x - 0,1y)^2 = (0,8x)^2 - 2 \cdot 0,8x \cdot 0,1y + (0,1y)^2 = 0,64x^2 - 0,16xy + 0,01y^2$.

Ответ: $0,64x^2 - 0,16xy + 0,01y^2$.

812. Преобразуйте в многочлен:

а) $(a^2 - 3a)^2$;

б) $(\frac{1}{2}x^3 + 6x)^2$;

в) $(c^2 - 0.7c^3)^2$;

г) $(4y^3 - 0.5y^2)^2$;

д) $(1\frac{1}{2}a^5 + 8a^2)^2$;

е) $(0.6b - 60b^2)^2$.

Для преобразования данных выражений в многочлены мы будем использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

• Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

а) $(a^2 - 3a)^2$

Используем формулу квадрата разности, где $a$ в формуле равно $a^2$, а $b$ в формуле равно $3a$.

$(a^2 - 3a)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 3a + (3a)^2 = a^{2 \cdot 2} - 6a^{2+1} + 9a^2 = a^4 - 6a^3 + 9a^2$.

Ответ: $a^4 - 6a^3 + 9a^2$.

б) $\left(\frac{1}{2}x^3 + 6x\right)^2$

Используем формулу квадрата суммы, где $a$ в формуле равно $\frac{1}{2}x^3$, а $b$ в формуле равно $6x$.

$\left(\frac{1}{2}x^3 + 6x\right)^2 = \left(\frac{1}{2}x^3\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x^3 \cdot 6x + (6x)^2 = \frac{1}{4}x^{3 \cdot 2} + 6x^{3+1} + 36x^2 = \frac{1}{4}x^6 + 6x^4 + 36x^2$.

Ответ: $\frac{1}{4}x^6 + 6x^4 + 36x^2$.

в) $(c^2 - 0,7c^3)^2$

Используем формулу квадрата разности, где $a$ в формуле равно $c^2$, а $b$ в формуле равно $0,7c^3$.

$(c^2 - 0,7c^3)^2 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 0,7c^3 + (0,7c^3)^2 = c^4 - 1,4c^{2+3} + 0,49c^{3 \cdot 2} = c^4 - 1,4c^5 + 0,49c^6$.

Запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней): $0,49c^6 - 1,4c^5 + c^4$.

Ответ: $0,49c^6 - 1,4c^5 + c^4$.

г) $(4y^3 - 0,5y^2)^2$

Используем формулу квадрата разности, где $a$ в формуле равно $4y^3$, а $b$ в формуле равно $0,5y^2$.

$(4y^3 - 0,5y^2)^2 = (4y^3)^2 - 2 \cdot 4y^3 \cdot 0,5y^2 + (0,5y^2)^2 = 16y^{3 \cdot 2} - 4y^{3+2} + 0,25y^{2 \cdot 2} = 16y^6 - 4y^5 + 0,25y^4$.

Ответ: $16y^6 - 4y^5 + 0,25y^4$.

д) $\left(\frac{1}{2}a^5 + 8a^2\right)^2$

Используем формулу квадрата суммы, где $a$ в формуле равно $\frac{1}{2}a^5$, а $b$ в формуле равно $8a^2$.

$\left(\frac{1}{2}a^5 + 8a^2\right)^2 = \left(\frac{1}{2}a^5\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a^5 \cdot 8a^2 + (8a^2)^2 = \frac{1}{4}a^{5 \cdot 2} + 8a^{5+2} + 64a^{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}a^{10} + 8a^7 + 64a^4$.

Ответ: $\frac{1}{4}a^{10} + 8a^7 + 64a^4$.

е) $(0,6b - 60b^2)^2$

Используем формулу квадрата разности, где $a$ в формуле равно $0,6b$, а $b$ в формуле равно $60b^2$.

$(0,6b - 60b^2)^2 = (0,6b)^2 - 2 \cdot 0,6b \cdot 60b^2 + (60b^2)^2 = 0,36b^2 - 72b^{1+2} + 3600b^{2 \cdot 2} = 0,36b^2 - 72b^3 + 3600b^4$.

Запишем многочлен в стандартном виде: $3600b^4 - 72b^3 + 0,36b^2$.

Ответ: $3600b^4 - 72b^3 + 0,36b^2$.

804. Преобразуйте в многочлен:

а) $(7 - 8b)^2$;

б) $(0,6 + 2x)^2;$

в) $(\frac{1}{3}x - 3y)^2$;

г) $(4a + \frac{1}{8}b)^2$;

д) $(0,1m + 5n)^2;$

е) $(12a - 0,3c)^2.$

Для преобразования данных выражений в многочлены воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

а)

Для выражения $(7 - 8b)^2$ применим формулу квадрата разности, где $a = 7$ и $b = 8b$.

$(7 - 8b)^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot (8b) + (8b)^2 = 49 - 112b + 64b^2$.

Ответ: $49 - 112b + 64b^2$.

б)

Для выражения $(0,6 + 2x)^2$ применим формулу квадрата суммы, где $a = 0,6$ и $b = 2x$.

$(0,6 + 2x)^2 = (0,6)^2 + 2 \cdot (0,6) \cdot (2x) + (2x)^2 = 0,36 + 2,4x + 4x^2$.

Ответ: $0,36 + 2,4x + 4x^2$.

в)

Для выражения $(\frac{1}{3}x - 3y)^2$ применим формулу квадрата разности, где $a = \frac{1}{3}x$ и $b = 3y$.

$(\frac{1}{3}x - 3y)^2 = (\frac{1}{3}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (3y) + (3y)^2 = \frac{1}{9}x^2 - 2xy + 9y^2$.

Ответ: $\frac{1}{9}x^2 - 2xy + 9y^2$.

г)

Для выражения $(4a + \frac{1}{8}b)^2$ применим формулу квадрата суммы, где $a = 4a$ и $b = \frac{1}{8}b$.

$(4a + \frac{1}{8}b)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot (4a) \cdot (\frac{1}{8}b) + (\frac{1}{8}b)^2 = 16a^2 + \frac{8}{8}ab + \frac{1}{64}b^2 = 16a^2 + ab + \frac{1}{64}b^2$.

Ответ: $16a^2 + ab + \frac{1}{64}b^2$.

д)

Для выражения $(0,1m + 5n)^2$ применим формулу квадрата суммы, где $a = 0,1m$ и $b = 5n$.

$(0,1m + 5n)^2 = (0,1m)^2 + 2 \cdot (0,1m) \cdot (5n) + (5n)^2 = 0,01m^2 + 1mn + 25n^2 = 0,01m^2 + mn + 25n^2$.

Ответ: $0,01m^2 + mn + 25n^2$.

е)

Для выражения $(12a - 0,3c)^2$ применим формулу квадрата разности, где $a = 12a$ и $b = 0,3c$.

$(12a - 0,3c)^2 = (12a)^2 - 2 \cdot (12a) \cdot (0,3c) + (0,3c)^2 = 144a^2 - 7,2ac + 0,09c^2$.

Ответ: $144a^2 - 7,2ac + 0,09c^2$.

807. Докажите тождество:

а) $(a - b)^2 = (b - a)^2;$

б) $(-a - b)^2 = (a + b)^2.$

а) Докажем тождество $(a - b)^2 = (b - a)^2$.

Для доказательства преобразуем правую часть равенства, выражение $(b - a)^2$.

Сначала рассмотрим выражение в скобках, $b - a$. Вынесем за скобки множитель $-1$:

$b - a = -1 \cdot a - (-1) \cdot b = -(a - b)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в правую часть исходного тождества:

$(b - a)^2 = (-(a - b))^2$

Используем свойство степени, согласно которому квадрат любого выражения равен квадрату противоположного ему выражения, то есть $(-x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$.

Применив это свойство, получаем:

$(-(a - b))^2 = (a - b)^2$

Мы преобразовали правую часть тождества к виду левой части, следовательно, тождество $(a - b)^2 = (b - a)^2$ верно.

Альтернативный способ: можно раскрыть скобки в обеих частях равенства, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Левая часть: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Правая часть: $(b - a)^2 = b^2 - 2ba + a^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Поскольку левая и правая части равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: тождество $(a - b)^2 = (b - a)^2$ доказано.

б) Докажем тождество $(-a - b)^2 = (a + b)^2$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, выражение $(-a - b)^2$.

Рассмотрим выражение в скобках, $-a - b$. Вынесем за скобки общий множитель $-1$:

$-a - b = -1 \cdot a + (-1) \cdot b = -(a + b)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного тождества:

$(-a - b)^2 = (-(a + b))^2$

Используя то же свойство степени, что и в пункте а), а именно $(-x)^2 = x^2$, получаем:

$(-(a + b))^2 = (a + b)^2$

Мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части, следовательно, тождество $(-a - b)^2 = (a + b)^2$ верно.

Альтернативный способ: можно раскрыть скобки в обеих частях равенства, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Левая часть: $(-a - b)^2 = (-a + (-b))^2 = (-a)^2 + 2(-a)(-b) + (-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Правая часть: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Поскольку левая и правая части равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: тождество $(-a - b)^2 = (a + b)^2$ доказано.

810. Используя формулу квадрата суммы или формулу квадрата разности, вычислите:

а) $(100 + 1)^2$;

б) $(100 - 1)^2$;

в) $61^2$;

г) $199^2$;

д) $999^2$;

е) $702^2$;

ж) $9,9^2$;

з) $10,2^2$.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения:

• Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) Вычислим $(100 + 1)^2$.

Применим формулу квадрата суммы, где $a=100$ и $b=1$.

$(100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.

Ответ: $10201$.

б) Вычислим $(100 - 1)^2$.

Применим формулу квадрата разности, где $a=100$ и $b=1$.

$(100 - 1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$.

Ответ: $9801$.

в) Вычислим $61^2$.

Представим число $61$ как сумму $60 + 1$ и применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2$, где $a=60$ и $b=1$.

$61^2 = (60 + 1)^2 = 60^2 + 2 \cdot 60 \cdot 1 + 1^2 = 3600 + 120 + 1 = 3721$.

Ответ: $3721$.

г) Вычислим $199^2$.

Представим число $199$ как разность $200 - 1$ и применим формулу квадрата разности $(a-b)^2$, где $a=200$ и $b=1$.

$199^2 = (200 - 1)^2 = 200^2 - 2 \cdot 200 \cdot 1 + 1^2 = 40000 - 400 + 1 = 39601$.

Ответ: $39601$.

д) Вычислим $999^2$.

Представим число $999$ как разность $1000 - 1$ и применим формулу квадрата разности $(a-b)^2$, где $a=1000$ и $b=1$.

$999^2 = (1000 - 1)^2 = 1000^2 - 2 \cdot 1000 \cdot 1 + 1^2 = 1000000 - 2000 + 1 = 998001$.

Ответ: $998001$.

е) Вычислим $702^2$.

Представим число $702$ как сумму $700 + 2$ и применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2$, где $a=700$ и $b=2$.

$702^2 = (700 + 2)^2 = 700^2 + 2 \cdot 700 \cdot 2 + 2^2 = 490000 + 2800 + 4 = 492804$.

Ответ: $492804$.

ж) Вычислим $9,9^2$.

Представим число $9,9$ как разность $10 - 0,1$ и применим формулу квадрата разности $(a-b)^2$, где $a=10$ и $b=0,1$.

$9,9^2 = (10 - 0,1)^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 0,1 + (0,1)^2 = 100 - 2 + 0,01 = 98,01$.

Ответ: $98,01$.

з) Вычислим $10,2^2$.

Представим число $10,2$ как сумму $10 + 0,2$ и применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2$, где $a=10$ и $b=0,2$.

$10,2^2 = (10 + 0,2)^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 0,2 + (0,2)^2 = 100 + 4 + 0,04 = 104,04$.

Ответ: $104,04$.

813. Представьте в виде многочлена:

а) $(a^2 - 2b)^2$;

б) $(x^3 + 3y^4)^2$;

в) $(7a^6 + 12a)^2$;

г) $(15x - x^3)^2$.

а) Чтобы представить выражение $(a^2 - 2b)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a^2$ и $y = 2b$. Подставим эти значения в формулу:

$(a^2 - 2b)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot (2b) + (2b)^2$

Теперь выполним вычисления:

$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$

$2 \cdot a^2 \cdot 2b = 4a^2b$

$(2b)^2 = 2^2 \cdot b^2 = 4b^2$

Собираем все вместе:

$(a^2 - 2b)^2 = a^4 - 4a^2b + 4b^2$

Ответ: $a^4 - 4a^2b + 4b^2$.

б) Чтобы представить выражение $(x^3 + 3y^4)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = x^3$ и $y = 3y^4$. Подставим эти значения в формулу:

$(x^3 + 3y^4)^2 = (x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot (3y^4) + (3y^4)^2$

Теперь выполним вычисления:

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$

$2 \cdot x^3 \cdot 3y^4 = 6x^3y^4$

$(3y^4)^2 = 3^2 \cdot (y^4)^2 = 9y^{4 \cdot 2} = 9y^8$

Собираем все вместе:

$(x^3 + 3y^4)^2 = x^6 + 6x^3y^4 + 9y^8$

Ответ: $x^6 + 6x^3y^4 + 9y^8$.

в) Снова используем формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении $(7a^6 + 12a)^2$, у нас $x = 7a^6$ и $y = 12a$.

$(7a^6 + 12a)^2 = (7a^6)^2 + 2 \cdot (7a^6) \cdot (12a) + (12a)^2$

Выполняем вычисления для каждого члена:

$(7a^6)^2 = 7^2 \cdot (a^6)^2 = 49a^{12}$

$2 \cdot 7a^6 \cdot 12a = (2 \cdot 7 \cdot 12) \cdot (a^6 \cdot a^1) = 168a^{6+1} = 168a^7$

$(12a)^2 = 12^2 \cdot a^2 = 144a^2$

Объединяем полученные члены:

$(7a^6 + 12a)^2 = 49a^{12} + 168a^7 + 144a^2$

Ответ: $49a^{12} + 168a^7 + 144a^2$.

г) Для выражения $(15x - x^3)^2$ применяем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x = 15x$ и $y = x^3$.

$(15x - x^3)^2 = (15x)^2 - 2 \cdot (15x) \cdot (x^3) + (x^3)^2$

Выполняем вычисления для каждого члена:

$(15x)^2 = 15^2 \cdot x^2 = 225x^2$

$2 \cdot 15x \cdot x^3 = 30 \cdot (x^1 \cdot x^3) = 30x^{1+3} = 30x^4$

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$

Объединяем полученные члены:

$(15x - x^3)^2 = 225x^2 - 30x^4 + x^6$

Ответ: $225x^2 - 30x^4 + x^6$.