Номер 814, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 814, страница 167.

Условие.

814. Замените знак * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

а) $(* + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2;$

б) $(3x + *)^2 = 9x^2 + 6ax + a^2;$

в) $(* - 2m)^2 = 100 - 40m + 4m^2;$

г) $(* - 9c)^2 = 36a^4 - 108a^2c + 81c^2;$

д) $(5y + *)^2 = 25y^2 + 4x^3y + 0,16x^6;$

е) $(3a + 2,5b)^2 = 9a^2 + 6,25b^2 + *.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы равенство $(* + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$ было тождеством, необходимо, чтобы выражение в правой части являлось полным квадратом выражения в левой части. Используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$.
Правая часть: $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2$.
Сравнивая с левой частью $(* + 2b)^2$, видим, что на месте знака $*$ должен стоять одночлен $a$.
Ответ: $a$.

б) В равенстве $(3x + *)^2 = 9x^2 + 6ax + a^2$ применим ту же формулу квадрата суммы. Правая часть: $9x^2 + 6ax + a^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot a + (a)^2 = (3x+a)^2$.
Сравнивая с левой частью $(3x + *)^2$, заключаем, что знак $*$ нужно заменить на одночлен $a$.
Ответ: $a$.

в) Рассмотрим равенство $(* - 2m)^2 = 100 - 40m + 4m^2$. Здесь используется формула квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.
Правая часть: $100 - 40m + 4m^2 = (10)^2 - 2 \cdot 10 \cdot (2m) + (2m)^2 = (10-2m)^2$.
Сравнивая с левой частью $(* - 2m)^2$, находим, что на месте знака $*$ должен стоять одночлен $10$.
Ответ: $10$.

г) В равенстве $(* - 9c)^2 = 36a^4 - 108a^2c + 81c^2$ снова используем формулу квадрата разности.
Правая часть: $36a^4 - 108a^2c + 81c^2 = (6a^2)^2 - 2 \cdot (6a^2) \cdot (9c) + (9c)^2 = (6a^2-9c)^2$.
Сравнивая с левой частью $(* - 9c)^2$, получаем, что знак $*$ следует заменить на одночлен $6a^2$.
Ответ: $6a^2$.

д) Для равенства $(5y + *)^2 = 25y^2 + 4x^3y + 0,16x^6$ используем формулу квадрата суммы.
Правая часть: $25y^2 + 4x^3y + 0,16x^6 = (5y)^2 + 2 \cdot (5y) \cdot (0,4x^3) + (0,4x^3)^2 = (5y+0,4x^3)^2$.
Сравнивая с левой частью $(5y + *)^2$, видим, что знак $*$ нужно заменить на одночлен $0,4x^3$.
Ответ: $0,4x^3$.

е) В равенстве $(3a + 2,5b)^2 = 9a^2 + 6,25b^2 + *$ необходимо найти недостающий член в разложении квадрата суммы.
Раскроем скобки в левой части по формуле $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$, где $A=3a$ и $B=2,5b$:
$(3a + 2,5b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot (2,5b) + (2,5b)^2 = 9a^2 + 15ab + 6,25b^2$.
Сравнивая полученное выражение с правой частью $9a^2 + 6,25b^2 + *$, видим, что недостающий член (знак $*$) — это удвоенное произведение $2AB$, равное $15ab$.
Ответ: $15ab$.