Номер 819, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 819, страница 168.

Условие.

819. Решите уравнение:

а) $(x - 6)^2 - x(x + 8) = 2;$

б) $9x(x + 6) - (3x + 1)^2 = 1;$

в) $y(y - 1) - (y - 5)^2 = 2;$

г) $16y(2 - y) + (4y - 5)^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $(x - 6)^2 - x(x + 8) = 2$

Для решения уравнения раскроем скобки в левой части. Выражение $(x - 6)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Выражение $x(x + 8)$ раскроем, умножив $x$ на каждый член в скобках.

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - (x \cdot x + x \cdot 8) = 2$

$(x^2 - 12x + 36) - (x^2 + 8x) = 2$

Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок изменятся на противоположные.

$x^2 - 12x + 36 - x^2 - 8x = 2$

Приведем подобные слагаемые. $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются.

$(x^2 - x^2) + (-12x - 8x) + 36 = 2$

$-20x + 36 = 2$

Перенесем 36 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.

$-20x = 2 - 36$

$-20x = -34$

Разделим обе части уравнения на -20, чтобы найти $x$.

$x = \frac{-34}{-20} = \frac{34}{20} = \frac{17}{10} = 1.7$

Ответ: $1.7$.

б) $9x(x + 6) - (3x + 1)^2 = 1$

Раскроем скобки в левой части. Выражение $(3x + 1)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(9x \cdot x + 9x \cdot 6) - ((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2) = 1$

$(9x^2 + 54x) - (9x^2 + 6x + 1) = 1$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные.

$9x^2 + 54x - 9x^2 - 6x - 1 = 1$

Приведем подобные слагаемые. $9x^2$ и $-9x^2$ взаимно уничтожаются.

$(9x^2 - 9x^2) + (54x - 6x) - 1 = 1$

$48x - 1 = 1$

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$48x = 1 + 1$

$48x = 2$

Разделим обе части уравнения на 48.

$x = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$

Ответ: $\frac{1}{24}$.

в) $y(y - 1) - (y - 5)^2 = 2$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя правило умножения одночлена на многочлен и формулу квадрата разности.

$(y^2 - y) - (y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2) = 2$

$(y^2 - y) - (y^2 - 10y + 25) = 2$

Раскроем вторые скобки.

$y^2 - y - y^2 + 10y - 25 = 2$

Приведем подобные слагаемые. $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются.

$(y^2 - y^2) + (-y + 10y) - 25 = 2$

$9y - 25 = 2$

Перенесем -25 в правую часть уравнения.

$9y = 2 + 25$

$9y = 27$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на 9.

$y = \frac{27}{9} = 3$

Ответ: $3$.

г) $16y(2 - y) + (4y - 5)^2 = 0$

Раскроем скобки в левой части уравнения.

$(16y \cdot 2 - 16y \cdot y) + ((4y)^2 - 2 \cdot 4y \cdot 5 + 5^2) = 0$

$(32y - 16y^2) + (16y^2 - 40y + 25) = 0$

Так как перед вторыми скобками стоит знак плюс, мы можем просто их убрать.

$32y - 16y^2 + 16y^2 - 40y + 25 = 0$

Приведем подобные слагаемые. $-16y^2$ и $16y^2$ взаимно уничтожаются.

$(-16y^2 + 16y^2) + (32y - 40y) + 25 = 0$

$-8y + 25 = 0$

Перенесем 25 в правую часть уравнения.

$-8y = -25$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на -8.

$y = \frac{-25}{-8} = \frac{25}{8}$

Ответ: $\frac{25}{8}$.