Номер 817, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 817, страница 168.

Условие.

817. Упростите выражение:

а) $(x - 3)^2 + x(x + 9)$;

б) $(2a + 5)^2 - 5(4a + 5)$;

в) $9b(b - 1) - (3b + 2)^2$;

г) $(b - 4)^2 + (b - 1)(2 - b)$;

д) $(a + 3)(5 - a) - (a - 1)^2$;

е) $(5 + 2y)(y - 3) - (5 - 2y)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $(x - 3)^2 + x(x + 9)$ раскроем скобки. Первое слагаемое раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$. Второе слагаемое $x(x+9)$ раскроем по распределительному закону: $x(x+9) = x^2+9x$. Теперь сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые: $(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 9x) = x^2 - 6x + 9 + x^2 + 9x = (x^2+x^2) + (-6x+9x) + 9 = 2x^2 + 3x + 9$.
Ответ: $2x^2 + 3x + 9$

б) Для упрощения выражения $(2a + 5)^2 - 5(4a + 5)$ раскроем скобки. Уменьшаемое раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $(2a+5)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 + 20a + 25$. Вычитаемое $-5(4a+5)$ раскроем по распределительному закону: $-5(4a+5) = -20a-25$. Выполним преобразование: $4a^2 + 20a + 25 - 20a - 25 = 4a^2 + (20a-20a) + (25-25) = 4a^2$.
Ответ: $4a^2$

в) Для упрощения выражения $9b(b - 1) - (3b + 2)^2$ раскроем скобки. Уменьшаемое $9b(b-1)$ раскроем по распределительному закону: $9b(b-1) = 9b^2 - 9b$. Вычитаемое $(3b+2)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $(3b+2)^2 = (3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 2 + 2^2 = 9b^2 + 12b + 4$. Теперь выполним вычитание и приведем подобные слагаемые: $(9b^2 - 9b) - (9b^2 + 12b + 4) = 9b^2 - 9b - 9b^2 - 12b - 4 = (9b^2-9b^2) + (-9b-12b) - 4 = -21b - 4$.
Ответ: $-21b - 4$

г) Для упрощения выражения $(b - 4)^2 + (b - 1)(2 - b)$ раскроем скобки. Первое слагаемое раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(b-4)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = b^2 - 8b + 16$. Второе слагаемое $(b-1)(2-b)$ является произведением многочленов: $(b-1)(2-b) = b \cdot 2 + b \cdot (-b) - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-b) = 2b - b^2 - 2 + b = -b^2 + 3b - 2$. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые: $(b^2 - 8b + 16) + (-b^2 + 3b - 2) = b^2 - 8b + 16 - b^2 + 3b - 2 = (b^2-b^2) + (-8b+3b) + (16-2) = -5b + 14$.
Ответ: $14 - 5b$

д) Для упрощения выражения $(a + 3)(5 - a) - (a - 1)^2$ раскроем скобки. Уменьшаемое $(a+3)(5-a)$ является произведением многочленов: $(a+3)(5-a) = a \cdot 5 + a \cdot (-a) + 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-a) = 5a - a^2 + 15 - 3a = -a^2 + 2a + 15$. Вычитаемое $(a-1)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$. Выполним вычитание и приведем подобные слагаемые: $(-a^2 + 2a + 15) - (a^2 - 2a + 1) = -a^2 + 2a + 15 - a^2 + 2a - 1 = (-a^2-a^2) + (2a+2a) + (15-1) = -2a^2 + 4a + 14$.
Ответ: $-2a^2 + 4a + 14$

е) Для упрощения выражения $(5 + 2y)(y - 3) - (5 - 2y)^2$ раскроем скобки. Уменьшаемое $(5+2y)(y-3)$ является произведением многочленов: $(5+2y)(y-3) = 5 \cdot y + 5 \cdot (-3) + 2y \cdot y + 2y \cdot (-3) = 5y - 15 + 2y^2 - 6y = 2y^2 - y - 15$. Вычитаемое $(5-2y)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(5-2y)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2y + (2y)^2 = 25 - 20y + 4y^2$. Выполним вычитание и приведем подобные слагаемые: $(2y^2 - y - 15) - (25 - 20y + 4y^2) = 2y^2 - y - 15 - 25 + 20y - 4y^2 = (2y^2-4y^2) + (-y+20y) + (-15-25) = -2y^2 + 19y - 40$.
Ответ: $-2y^2 + 19y - 40$