Номер 820, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 820, страница 168.

Условие.

820. Найдите корень уравнения:

а) $(x - 5)^2 - x^2 = 3;$

б) $(2y + 1)^2 - 4y^2 = 5;$

в) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0;$

г) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $(x - 5)^2 - x^2 = 3$
Для решения уравнения раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ к выражению $(x - 5)^2$.
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - x^2 = 3$
$x^2 - 10x + 25 - x^2 = 3$
Приведем подобные слагаемые. $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются:
$-10x + 25 = 3$
Перенесем свободный член 25 из левой части в правую с противоположным знаком:
$-10x = 3 - 25$
$-10x = -22$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -10:
$x = \frac{-22}{-10}$
$x = 2,2$
Ответ: 2,2.

б) $(2y + 1)^2 - 4y^2 = 5$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для выражения $(2y + 1)^2$.
$((2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot 1 + 1^2) - 4y^2 = 5$
$4y^2 + 4y + 1 - 4y^2 = 5$
Сократим $4y^2$ и $-4y^2$ в левой части:
$4y + 1 = 5$
Перенесем 1 в правую часть уравнения:
$4y = 5 - 1$
$4y = 4$
Разделим обе части на 4:
$y = \frac{4}{4}$
$y = 1$
Ответ: 1.

в) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0$
Раскроем скобки $(3x - 2)^2$, используя формулу квадрата разности.
$9x^2 - 1 - ( (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 ) = 0$
$9x^2 - 1 - (9x^2 - 12x + 4) = 0$
Теперь раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:
$9x^2 - 1 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$
Приведем подобные слагаемые. $9x^2$ и $-9x^2$ сокращаются, а $-1$ и $-4$ дают в сумме $-5$.
$12x - 5 = 0$
Перенесем -5 в правую часть:
$12x = 5$
Найдем $x$:
$x = \frac{5}{12}$
Ответ: $\frac{5}{12}$.

г) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы, в правой — распределительный закон умножения.
$x + ((5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2) = 25 \cdot 1 + 25 \cdot x^2$
$x + 25x^2 + 20x + 4 = 25 + 25x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части ($x + 20x = 21x$):
$25x^2 + 21x + 4 = 25 + 25x^2$
Перенесем все члены с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую. Член $25x^2$ есть в обеих частях, поэтому при переносе он сократится:
$21x = 25 - 4$
$21x = 21$
Разделим обе части на 21:
$x = \frac{21}{21}$
$x = 1$
Ответ: 1.