Номер 822, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 822, страница 168.

Условие.

822. Преобразуйте в многочлен выражение:

а) $5(3a + 7)^2$;

б) $-6(4 - b)^2$;

в) $-3(2 - x)^2 - 10x$;

г) $12a^2 - 4(1 - 2a)^2 + 8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы преобразовать выражение $5(3a + 7)^2$ в многочлен, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(3a + 7)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 7 + 7^2 = 9a^2 + 42a + 49$.

Теперь умножим полученный многочлен на 5:

$5(9a^2 + 42a + 49) = 5 \cdot 9a^2 + 5 \cdot 42a + 5 \cdot 49 = 45a^2 + 210a + 245$.

Ответ: $45a^2 + 210a + 245$.

б) Чтобы преобразовать выражение $-6(4 - b)^2$ в многочлен, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(4 - b)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot b + b^2 = 16 - 8b + b^2$.

Теперь умножим полученный многочлен на -6:

$-6(16 - 8b + b^2) = -6 \cdot 16 - 6 \cdot (-8b) - 6 \cdot b^2 = -96 + 48b - 6b^2$.

Запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной):

$-6b^2 + 48b - 96$.

Ответ: $-6b^2 + 48b - 96$.

в) Чтобы преобразовать выражение $-3(2 - x)^2 - 10x$ в многочлен, выполним действия по порядку. Сначала раскроем скобки с квадратом разности:

$(2 - x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$.

Теперь умножим полученный результат на -3:

$-3(4 - 4x + x^2) = -12 + 12x - 3x^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(-12 + 12x - 3x^2) - 10x = -3x^2 + (12x - 10x) - 12 = -3x^2 + 2x - 12$.

Ответ: $-3x^2 + 2x - 12$.

г) Чтобы преобразовать выражение $12a^2 - 4(1 - 2a)^2 + 8$ в многочлен, сначала раскроем скобки с квадратом разности:

$(1 - 2a)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (2a) + (2a)^2 = 1 - 4a + 4a^2$.

Теперь умножим полученный результат на -4:

$-4(1 - 4a + 4a^2) = -4 + 16a - 16a^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$12a^2 + (-4 + 16a - 16a^2) + 8 = (12a^2 - 16a^2) + 16a + (-4 + 8) = -4a^2 + 16a + 4$.

Ответ: $-4a^2 + 16a + 4$.