Номер 824, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 824, страница 168.

Условие.

824. Докажите тождество:

а) $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$;

б) $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$;

в) $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$;

г) $(a+b)^2 - 2b(a+b) = a^2 - b^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для доказательства тождества $ (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2) $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ и квадратом разности $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Подставим разложения в левую часть равенства:

$ (a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2 $

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2) $

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab $ преобразуем его левую часть, используя те же формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Подставим разложения в левую часть равенства:

$ (a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) $

Раскроем скобки. Обратим внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки внутри нее изменятся на противоположные:

$ a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = (a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 4ab $

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства тождества $ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab $ преобразуем его правую часть. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

$ (a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab $

Приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + (2ab - 2ab) + b^2 = a^2 + b^2 $

В результате преобразований правая часть тождества стала равна левой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Для доказательства тождества $ (a + b)^2 - 2b(a + b) = a^2 - b^2 $ преобразуем его левую часть. Сначала раскроем скобки.

Первое слагаемое раскроем по формуле квадрата суммы, а во втором слагаемом умножим $ -2b $ на каждый член в скобках:

$ (a + b)^2 - 2b(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2) - (2b \cdot a + 2b \cdot b) = (a^2 + 2ab + b^2) - (2ab + 2b^2) $

Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + 2ab + b^2 - 2ab - 2b^2 = a^2 + (2ab - 2ab) + (b^2 - 2b^2) = a^2 - b^2 $

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части, которая является формулой разности квадратов. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.