Номер 821, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 821, страница 168.

Условие.

821. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $7(4a - 1)^2$;

б) $-3(5y - x)^2$;

в) $-10\left(\frac{1}{2}b + 2\right)^2$;

г) $3(a - 1)^2 + 8a$;

д) $9c^2 - 4 + 6(c - 2)^2$;

е) $10ab - 4(2a - b)^2 + 6b^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $7(4a - 1)^2$

Для преобразования выражения сначала воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, чтобы раскрыть скобки:

$(4a - 1)^2 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 1 + 1^2 = 16a^2 - 8a + 1$

Теперь умножим полученный многочлен на 7:

$7(16a^2 - 8a + 1) = 7 \cdot 16a^2 - 7 \cdot 8a + 7 \cdot 1 = 112a^2 - 56a + 7$

Ответ: $112a^2 - 56a + 7$

б) $-3(5y - x)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(5y - x)^2 = (5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot x + x^2 = 25y^2 - 10xy + x^2$

Далее умножим полученный результат на -3:

$-3(25y^2 - 10xy + x^2) = -3 \cdot 25y^2 - 3 \cdot (-10xy) - 3 \cdot x^2 = -75y^2 + 30xy - 3x^2$

Запишем многочлен в стандартном виде:

$-3x^2 + 30xy - 75y^2$

Ответ: $-3x^2 + 30xy - 75y^2$

в) $-10(\frac{1}{2}b + 2)^2$

Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(\frac{1}{2}b + 2)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}b \cdot 2 + 2^2 = \frac{1}{4}b^2 + 2b + 4$

Теперь умножим полученный многочлен на -10:

$-10(\frac{1}{4}b^2 + 2b + 4) = -10 \cdot \frac{1}{4}b^2 - 10 \cdot 2b - 10 \cdot 4 = -\frac{10}{4}b^2 - 20b - 40$

Сократим дробь в первом члене многочлена:

$-\frac{5}{2}b^2 - 20b - 40$

Ответ: $-\frac{5}{2}b^2 - 20b - 40$

г) $3(a - 1)^2 + 8a$

Сначала раскроем скобки, возведя в квадрат двучлен $(a-1)$:

$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$

Подставим результат в исходное выражение:

$3(a^2 - 2a + 1) + 8a$

Теперь раскроем скобки, умножив многочлен на 3:

$3a^2 - 6a + 3 + 8a$

Приведем подобные слагаемые:

$3a^2 + (-6a + 8a) + 3 = 3a^2 + 2a + 3$

Ответ: $3a^2 + 2a + 3$

д) $9c^2 - 4 + 6(c - 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$(c - 2)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 2 + 2^2 = c^2 - 4c + 4$

Подставим полученный многочлен в исходное выражение:

$9c^2 - 4 + 6(c^2 - 4c + 4)$

Раскроем скобки, умножив на 6:

$9c^2 - 4 + 6c^2 - 24c + 24$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(9c^2 + 6c^2) - 24c + (-4 + 24) = 15c^2 - 24c + 20$

Ответ: $15c^2 - 24c + 20$

е) $10ab - 4(2a - b)^2 + 6b^2$

Сначала раскроем квадрат разности:

$(2a - b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

Подставим результат в исходное выражение:

$10ab - 4(4a^2 - 4ab + b^2) + 6b^2$

Раскроем скобки, умножая на -4:

$10ab - 16a^2 + 16ab - 4b^2 + 6b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$-16a^2 + (10ab + 16ab) + (-4b^2 + 6b^2) = -16a^2 + 26ab + 2b^2$

Ответ: $-16a^2 + 26ab + 2b^2$