Номер 823, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 823, страница 168.

Условие.

823. Представьте в виде многочлена:

а) $a(a + 9b)^2;$

б) $6x(x^2 + 5x)^2;$

в) $(a + 2)(a - 1)^2;$

г) $(x - 4)(x + 2)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $a(a + 9b)^2$ в виде многочлена, сначала необходимо раскрыть скобки, возведенные в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
$(a + 9b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 9b + (9b)^2 = a^2 + 18ab + 81b^2$.
Затем, умножим полученный многочлен на одночлен $a$, который стоит перед скобками:
$a(a^2 + 18ab + 81b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 18ab + a \cdot 81b^2 = a^3 + 18a^2b + 81ab^2$.
Ответ: $a^3 + 18a^2b + 81ab^2$.

б) Для выражения $6x(x^2 + 5x)^2$ сначала раскроем квадрат суммы. В данном случае $x = x^2$, а $y = 5x$.
$(x^2 + 5x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5x + (5x)^2 = x^4 + 10x^3 + 25x^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на $6x$:
$6x(x^4 + 10x^3 + 25x^2) = 6x \cdot x^4 + 6x \cdot 10x^3 + 6x \cdot 25x^2 = 6x^5 + 60x^4 + 150x^3$.
Ответ: $6x^5 + 60x^4 + 150x^3$.

в) Чтобы представить выражение $(a + 2)(a - 1)^2$ в виде многочлена, сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
$(a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1$.
Далее, умножим многочлен $(a + 2)$ на полученный многочлен $(a^2 - 2a + 1)$, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(a + 2)(a^2 - 2a + 1) = a(a^2 - 2a + 1) + 2(a^2 - 2a + 1) = a^3 - 2a^2 + a + 2a^2 - 4a + 2$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-2a^2 + 2a^2) + (a - 4a) + 2 = a^3 - 3a + 2$.
Ответ: $a^3 - 3a + 2$.

г) Для выражения $(x - 4)(x + 2)^2$ сначала раскроем квадрат суммы:
$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.
Теперь умножим многочлен $(x - 4)$ на полученный многочлен $(x^2 + 4x + 4)$:
$(x - 4)(x^2 + 4x + 4) = x(x^2 + 4x + 4) - 4(x^2 + 4x + 4) = x^3 + 4x^2 + 4x - 4x^2 - 16x - 16$.
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:
$x^3 + (4x^2 - 4x^2) + (4x - 16x) - 16 = x^3 - 12x - 16$.
Ответ: $x^3 - 12x - 16$.