Номер 816, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 816, страница 168.

Условие.

816. Представьте в виде многочлена:

а) $18a + (a - 9)^2;$

б) $(5x - 1)^2 - 25x^2;$

в) $4x^2 - (2x - 3)^2;$

г) $(a + 2b)^2 - 4b^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $18a + (a - 9)^2$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Применим формулу к выражению $(a - 9)^2$:
$(a - 9)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 9 + 9^2 = a^2 - 18a + 81$.
Теперь подставим полученный многочлен в исходное выражение:
$18a + (a^2 - 18a + 81)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$18a + a^2 - 18a + 81 = a^2 + (18a - 18a) + 81 = a^2 + 81$.
Ответ: $a^2 + 81$.

б) Чтобы представить выражение $(5x - 1)^2 - 25x^2$ в виде многочлена, раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Применим формулу к выражению $(5x - 1)^2$:
$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$.
Подставим полученный многочлен в исходное выражение:
$(25x^2 - 10x + 1) - 25x^2$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$25x^2 - 10x + 1 - 25x^2 = (25x^2 - 25x^2) - 10x + 1 = -10x + 1$.
Ответ: $-10x + 1$.

в) Чтобы представить выражение $4x^2 - (2x - 3)^2$ в виде многочлена, раскроем скобки. Сначала используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ для выражения $(2x - 3)^2$.
$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$.
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$4x^2 - (4x^2 - 12x + 9)$.
Так как перед скобкой стоит знак минус, при их раскрытии все знаки внутри меняются на противоположные:
$4x^2 - 4x^2 + 12x - 9$.
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) + 12x - 9 = 12x - 9$.
Ответ: $12x - 9$.

г) Чтобы представить выражение $(a + 2b)^2 - 4b^2$ в виде многочлена, раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Применим формулу к выражению $(a + 2b)^2$:
$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.
Подставим полученный многочлен в исходное выражение:
$(a^2 + 4ab + 4b^2) - 4b^2$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 4ab + 4b^2 - 4b^2 = a^2 + 4ab + (4b^2 - 4b^2) = a^2 + 4ab$.
Ответ: $a^2 + 4ab$.