Номер 815, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 815, страница 168.

Условие.

815. Упростите выражение:

а) $(12a-1)^2-1$;

б) $(2a+6b)^2-24ab$;

в) $121-(11-9x)^2$;

г) $a^2b^2-(ab-7)^2$;

д) $b^2+49-(b-7)^2$;

е) $a^4-81-(a^2+9)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $(12a - 1)^2 - 1$ можно использовать формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В данном случае $x = 12a - 1$ и $y = 1$.
$(12a - 1)^2 - 1 = (12a - 1)^2 - 1^2 = ((12a - 1) - 1)((12a - 1) + 1) = (12a - 2)(12a) = 144a^2 - 24a$.
Также можно сначала раскрыть скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(12a - 1)^2 - 1 = ((12a)^2 - 2 \cdot 12a \cdot 1 + 1^2) - 1 = (144a^2 - 24a + 1) - 1 = 144a^2 - 24a$.
Ответ: $144a^2 - 24a$.

б) Упростим выражение $(2a + 6b)^2 - 24ab$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$(2a + 6b)^2 - 24ab = ((2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 6b + (6b)^2) - 24ab = (4a^2 + 24ab + 36b^2) - 24ab$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$4a^2 + 24ab - 24ab + 36b^2 = 4a^2 + 36b^2$.
Ответ: $4a^2 + 36b^2$.

в) Упростим выражение $121 - (11 - 9x)^2$. Заметим, что $121 = 11^2$. Выражение представляет собой разность квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 11$ и $y = 11 - 9x$.
$11^2 - (11 - 9x)^2 = (11 - (11 - 9x))(11 + (11 - 9x)) = (11 - 11 + 9x)(11 + 11 - 9x) = (9x)(22 - 9x) = 198x - 81x^2$.
Ответ: $198x - 81x^2$.

г) Упростим выражение $a^2b^2 - (ab - 7)^2$. Это разность квадратов, так как $a^2b^2 = (ab)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = ab$ и $y = ab - 7$.
$(ab)^2 - (ab - 7)^2 = (ab - (ab - 7))(ab + (ab - 7)) = (ab - ab + 7)(ab + ab - 7) = 7(2ab - 7) = 14ab - 49$.
Ответ: $14ab - 49$.

д) Упростим выражение $b^2 + 49 - (b - 7)^2$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$b^2 + 49 - (b^2 - 2 \cdot b \cdot 7 + 7^2) = b^2 + 49 - (b^2 - 14b + 49)$.
Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:
$b^2 + 49 - b^2 + 14b - 49$.
Приведем подобные слагаемые:
$(b^2 - b^2) + 14b + (49 - 49) = 14b$.
Ответ: $14b$.

е) Упростим выражение $a^4 - 81 - (a^2 + 9)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$a^4 - 81 - ((a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 9 + 9^2) = a^4 - 81 - (a^4 + 18a^2 + 81)$.
Раскроем скобки, изменив знаки:
$a^4 - 81 - a^4 - 18a^2 - 81$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^4 - a^4) - 18a^2 - (81 + 81) = -18a^2 - 162$.
Ответ: $-18a^2 - 162$.