Номер 813, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 813, страница 167.

Условие.

813. Представьте в виде многочлена:

а) $(a^2 - 2b)^2$;

б) $(x^3 + 3y^4)^2$;

в) $(7a^6 + 12a)^2$;

г) $(15x - x^3)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $(a^2 - 2b)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a^2$ и $y = 2b$. Подставим эти значения в формулу:

$(a^2 - 2b)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot (2b) + (2b)^2$

Теперь выполним вычисления:

$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$

$2 \cdot a^2 \cdot 2b = 4a^2b$

$(2b)^2 = 2^2 \cdot b^2 = 4b^2$

Собираем все вместе:

$(a^2 - 2b)^2 = a^4 - 4a^2b + 4b^2$

Ответ: $a^4 - 4a^2b + 4b^2$.

б) Чтобы представить выражение $(x^3 + 3y^4)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = x^3$ и $y = 3y^4$. Подставим эти значения в формулу:

$(x^3 + 3y^4)^2 = (x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot (3y^4) + (3y^4)^2$

Теперь выполним вычисления:

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$

$2 \cdot x^3 \cdot 3y^4 = 6x^3y^4$

$(3y^4)^2 = 3^2 \cdot (y^4)^2 = 9y^{4 \cdot 2} = 9y^8$

Собираем все вместе:

$(x^3 + 3y^4)^2 = x^6 + 6x^3y^4 + 9y^8$

Ответ: $x^6 + 6x^3y^4 + 9y^8$.

в) Снова используем формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении $(7a^6 + 12a)^2$, у нас $x = 7a^6$ и $y = 12a$.

$(7a^6 + 12a)^2 = (7a^6)^2 + 2 \cdot (7a^6) \cdot (12a) + (12a)^2$

Выполняем вычисления для каждого члена:

$(7a^6)^2 = 7^2 \cdot (a^6)^2 = 49a^{12}$

$2 \cdot 7a^6 \cdot 12a = (2 \cdot 7 \cdot 12) \cdot (a^6 \cdot a^1) = 168a^{6+1} = 168a^7$

$(12a)^2 = 12^2 \cdot a^2 = 144a^2$

Объединяем полученные члены:

$(7a^6 + 12a)^2 = 49a^{12} + 168a^7 + 144a^2$

Ответ: $49a^{12} + 168a^7 + 144a^2$.

г) Для выражения $(15x - x^3)^2$ применяем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x = 15x$ и $y = x^3$.

$(15x - x^3)^2 = (15x)^2 - 2 \cdot (15x) \cdot (x^3) + (x^3)^2$

Выполняем вычисления для каждого члена:

$(15x)^2 = 15^2 \cdot x^2 = 225x^2$

$2 \cdot 15x \cdot x^3 = 30 \cdot (x^1 \cdot x^3) = 30x^{1+3} = 30x^4$

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$

Объединяем полученные члены:

$(15x - x^3)^2 = 225x^2 - 30x^4 + x^6$

Ответ: $225x^2 - 30x^4 + x^6$.