Номер 807, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 807, страница 167.

Условие.

807. Докажите тождество:

а) $(a - b)^2 = (b - a)^2;$

б) $(-a - b)^2 = (a + b)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Докажем тождество $(a - b)^2 = (b - a)^2$.

Для доказательства преобразуем правую часть равенства, выражение $(b - a)^2$.

Сначала рассмотрим выражение в скобках, $b - a$. Вынесем за скобки множитель $-1$:

$b - a = -1 \cdot a - (-1) \cdot b = -(a - b)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в правую часть исходного тождества:

$(b - a)^2 = (-(a - b))^2$

Используем свойство степени, согласно которому квадрат любого выражения равен квадрату противоположного ему выражения, то есть $(-x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$.

Применив это свойство, получаем:

$(-(a - b))^2 = (a - b)^2$

Мы преобразовали правую часть тождества к виду левой части, следовательно, тождество $(a - b)^2 = (b - a)^2$ верно.

Альтернативный способ: можно раскрыть скобки в обеих частях равенства, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Левая часть: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Правая часть: $(b - a)^2 = b^2 - 2ba + a^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Поскольку левая и правая части равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: тождество $(a - b)^2 = (b - a)^2$ доказано.

б) Докажем тождество $(-a - b)^2 = (a + b)^2$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, выражение $(-a - b)^2$.

Рассмотрим выражение в скобках, $-a - b$. Вынесем за скобки общий множитель $-1$:

$-a - b = -1 \cdot a + (-1) \cdot b = -(a + b)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного тождества:

$(-a - b)^2 = (-(a + b))^2$

Используя то же свойство степени, что и в пункте а), а именно $(-x)^2 = x^2$, получаем:

$(-(a + b))^2 = (a + b)^2$

Мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части, следовательно, тождество $(-a - b)^2 = (a + b)^2$ верно.

Альтернативный способ: можно раскрыть скобки в обеих частях равенства, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Левая часть: $(-a - b)^2 = (-a + (-b))^2 = (-a)^2 + 2(-a)(-b) + (-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Правая часть: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Поскольку левая и правая части равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: тождество $(-a - b)^2 = (a + b)^2$ доказано.