Номер 801, страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 801, страница 166.

Условие.

801. С помощью рисунка 71 разъясните геометрический смысл формулы $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для положительных $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a > b$.

Рис. 71

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Геометрический смысл формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для положительных $a$ и $b$, где $a > b$, можно продемонстрировать с помощью площадей фигур, показанных на рисунке.

На рисунке изображен большой квадрат со стороной $a$. Его общая площадь равна $S_{большого} = a^2$.

В левом нижнем углу этого квадрата находится серый квадрат. Поскольку от каждой стороны большого квадрата (равной $a$) отсекается отрезок длиной $b$, то сторона серого квадрата равна $a-b$. Таким образом, его площадь составляет $S_{серого} = (a-b)^2$. Это выражение соответствует левой части формулы.

Теперь вычислим площадь этого же серого квадрата другим способом, чтобы получить правую часть формулы. Площадь серого квадрата можно найти, вычитая из площади большого квадрата ($a^2$) площадь "Г"-образной фигуры, которая его окружает.

Представим, что мы вычитаем из большого квадрата площадью $a^2$ сначала вертикальный прямоугольник справа со сторонами $a$ и $b$ (его площадь равна $ab$), а затем горизонтальный прямоугольник сверху, также со сторонами $a$ и $b$ (его площадь тоже равна $ab$).

При вычитании этих двух прямоугольников мы дважды вычли площадь их общей части — маленького квадрата в правом верхнем углу. Этот маленький квадрат имеет стороны длиной $b$, и его площадь равна $b^2$. Чтобы исправить ошибку двойного вычитания, мы должны один раз прибавить эту площадь обратно.

Следовательно, площадь серого квадрата вычисляется следующим образом:

$S_{серого} = S_{большого} - (\text{площадь правого прямоугольника}) - (\text{площадь верхнего прямоугольника}) + (\text{площадь их пересечения})$

$S_{серого} = a^2 - ab - ab + b^2$

Упрощая это выражение, получаем: $S_{серого} = a^2 - 2ab + b^2$. Это правая часть исходной формулы.

Так как оба выражения, $(a-b)^2$ и $a^2 - 2ab + b^2$, описывают площадь одной и той же фигуры (серого квадрата), мы можем их приравнять:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы геометрически разъяснили формулу квадрата разности.

Ответ: Геометрический смысл формулы заключается в том, что площадь квадрата со стороной $(a-b)$ равна площади квадрата со стороной $a$, из которой вычли площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$, с последующим добавлением площади квадрата со стороной $b$ для компенсации дважды вычтенной площади их пересечения.