Номер 798, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 798, страница 162.

Условие.

798. Докажите, что:

а) если $ab + c^2 = 0$, то $(a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = 0$;

б) если $a + b = 9$, то $(a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) = 18$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Нам нужно доказать, что если $ab + c^2 = 0$, то $(a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = 0$.

Для доказательства преобразуем левую часть доказываемого равенства. Сначала раскроем скобки в каждом произведении:

$(a + c)(b + c) = ab + ac + bc + c^2$

$(a - c)(b - c) = ab - ac - bc + c^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(ab + ac + bc + c^2) + (ab - ac - bc + c^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ab + ab + ac - ac + bc - bc + c^2 + c^2 = 2ab + 2c^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(ab + c^2)$

По условию задачи нам дано, что $ab + c^2 = 0$. Подставим это значение в наше упрощенное выражение:

$2 \cdot 0 = 0$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна 0. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Нам нужно доказать, что если $a + b = 9$, то $(a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) = 18$.

Для доказательства преобразуем левую часть доказываемого равенства. Сначала раскроем скобки в каждом произведении:

$(a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1$

$(a - 1)(b - 1) = ab - a - b + 1$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(ab + a + b + 1) - (ab - a - b + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ab + a + b + 1 - ab + a + b - 1 = (ab - ab) + (a + a) + (b + b) + (1 - 1) = 2a + 2b$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a + b)$

По условию задачи нам дано, что $a + b = 9$. Подставим это значение в наше упрощенное выражение:

$2 \cdot 9 = 18$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна 18. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.