Номер 794, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 794, страница 162.

Условие.

794. Докажите, что:

а) $a(x + 6) + x(x - 3a) = 9$ при $x = 2a - 3;$

б) $x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = 13$ при $x = a + 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы доказать тождество, необходимо подставить выражение для $x$ в левую часть уравнения и упростить его. Сначала преобразуем левую часть уравнения:
$a(x + 6) + x(x - 3a) = ax + 6a + x^2 - 3ax = x^2 - 2ax + 6a$.

Теперь подставим в полученное выражение значение $x = 2a - 3$:
$(2a - 3)^2 - 2a(2a - 3) + 6a$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(4a^2 - 12a + 9) - (4a^2 - 6a) + 6a$

Теперь приведем подобные слагаемые:
$4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 6a + 6a = (4a^2 - 4a^2) + (-12a + 6a + 6a) + 9 = 0 + 0 + 9 = 9$.

Левая часть уравнения равна 9, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $a(x + 6) + x(x - 3a) = 9$ при $x = 2a - 3$ доказано.

б)

Для доказательства данного тождества также упростим его левую часть. Раскроем скобки:
$x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = x^2 - 3ax + a^2 + ax + 4$.

Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 2ax + a^2 + 4$.

Можно заметить, что первые три члена $x^2 - 2ax + a^2$ представляют собой полный квадрат разности $(x - a)^2$. Таким образом, выражение можно переписать в виде:
$(x - a)^2 + 4$.

Из условия задачи нам дано, что $x = a + 3$. Отсюда следует, что $x - a = 3$.

Подставим значение $(x - a) = 3$ в преобразованное выражение:
$(3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$.

Левая часть уравнения равна 13, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Равенство $x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = 13$ при $x = a + 3$ доказано.