Номер 792, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 792, страница 161.

Условие.

792. Представьте в виде произведения:

а) $ma - mb + na - nb + pa - pb;$

б) $ax - bx - cx + ay - by - cy;$

в) $x^2 + ax^2 - y - ay + cx^2 - cy;$

г) $ax^2 + 2y - bx^2 + ay + 2x^2 - by.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $ma - mb + na - nb + pa - pb$ в виде произведения, применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители. В данном случае можно сгруппировать члены с множителем m, с множителем n и с множителем p.

$(ma - mb) + (na - nb) + (pa - pb)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из трех групп:

$m(a - b) + n(a - b) + p(a - b)$

Мы видим, что у всех трех получившихся слагаемых есть общий множитель — выражение в скобках $(a - b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)(m + n + p)$

Ответ: $(a - b)(m + n + p)$

б) Для разложения на множители выражения $ax - bx - cx + ay - by - cy$ также используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную x, и слагаемые, содержащие переменную y.

$(ax - bx - cx) + (ay - by - cy)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В первой группе это x, во второй — y.

$x(a - b - c) + y(a - b - c)$

Теперь общим множителем для двух слагаемых является выражение $(a - b - c)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b - c)(x + y)$

Ответ: $(a - b - c)(x + y)$

в) В выражении $x^2 + ax^2 - y - ay + cx^2 - cy$ сгруппируем слагаемые, содержащие $x^2$, и слагаемые, не содержащие $x^2$ (т.е. слагаемые с y и свободный член -y, но здесь все они связаны с y).

$(x^2 + ax^2 + cx^2) + (-y - ay - cy)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп. Из первой группы вынесем $x^2$, а из второй вынесем $-y$.

$x^2(1 + a + c) - y(1 + a + c)$

Общим множителем является выражение в скобках $(1 + a + c)$. Вынесем его за скобки:

$(1 + a + c)(x^2 - y)$

Ответ: $(1 + a + c)(x^2 - y)$

г) Чтобы представить в виде произведения выражение $ax^2 + 2y - bx^2 + ay + 2x^2 - by$, сначала перегруппируем слагаемые для удобства. Сгруппируем все члены с множителем $x^2$ и все члены с множителем y.

$(ax^2 - bx^2 + 2x^2) + (2y + ay - by)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $x^2$, а из второй — y.

$x^2(a - b + 2) + y(2 + a - b)$

Заметим, что выражения в скобках идентичны, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется: $(a - b + 2) = (2 + a - b)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(a - b + 2)(x^2 + y)$

Ответ: $(a - b + 2)(x^2 + y)$