Номер 785, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 785, страница 161.

Условие.

785. Докажите, что:

а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;

б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Обозначим четыре последовательных целых числа через $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $n$ — любое целое число.

Крайними числами в этой последовательности являются $n$ и $n+3$. Найдем их произведение:

$P_{крайних} = n \cdot (n+3) = n^2 + 3n$.

Средними числами являются $n+1$ и $n+2$. Найдем их произведение:

$P_{средних} = (n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$.

Теперь сравним произведение средних чисел с произведением крайних. Для этого найдем их разность:

$P_{средних} - P_{крайних} = (n^2 + 3n + 2) - (n^2 + 3n) = n^2 + 3n + 2 - n^2 - 3n = 2$.

Разность равна 2, что означает, что произведение средних чисел на 2 больше произведения крайних чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Обозначим три последовательных нечётных числа. Удобно представить их в виде $m-2$, $m$, $m+2$, где $m$ — среднее нечётное число.

Среднее число в этой последовательности — это $m$. Его квадрат равен $m^2$.

Крайними числами являются $m-2$ и $m+2$. Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$P_{крайних} = (m-2)(m+2) = m^2 - 2^2 = m^2 - 4$.

Теперь сравним квадрат среднего числа с произведением крайних чисел. Для этого найдем их разность:

$m^2 - P_{крайних} = m^2 - (m^2 - 4) = m^2 - m^2 + 4 = 4$.

Разность равна 4, что означает, что квадрат среднего числа на 4 больше произведения крайних чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.