Номер 780, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 780, страница 160.

Условие.

780. Докажите, что значение выражения:

а) $(3^5 - 3^4)(3^3 + 3^2)$ делится на 24;

б) $(2^{10} + 2^8)(2^5 - 2^3)$ делится на 60;

в) $(16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3)$ делится на 63;

г) $(125^2 + 25^2)(5^2 - 1)$ делится на 39.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для доказательства того, что значение выражения $(3^5 - 3^4)(3^3 + 3^2)$ делится на 24, преобразуем его. Вынесем общие множители в каждой скобке:
Первая скобка: $3^5 - 3^4 = 3^4(3 - 1) = 3^4 \cdot 2$.
Вторая скобка: $3^3 + 3^2 = 3^2(3 + 1) = 3^2 \cdot 4$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$(3^4 \cdot 2) \cdot (3^2 \cdot 4) = 3^{4+2} \cdot (2 \cdot 4) = 3^6 \cdot 8$.
Нам нужно доказать делимость на $24$. Разложим 24 на множители: $24 = 3 \cdot 8$.
Наше выражение $3^6 \cdot 8$ можно представить как $3^5 \cdot 3 \cdot 8 = 3^5 \cdot 24$.
Поскольку выражение является произведением целого числа $3^5$ и 24, оно делится на 24.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что значение выражения $(2^{10} + 2^8)(2^5 - 2^3)$ делится на 60. Упростим выражение, вынося общие множители:
Первая скобка: $2^{10} + 2^8 = 2^8(2^2 + 1) = 2^8(4 + 1) = 2^8 \cdot 5$.
Вторая скобка: $2^5 - 2^3 = 2^3(2^2 - 1) = 2^3(4 - 1) = 2^3 \cdot 3$.
Перемножим упрощенные части:
$(2^8 \cdot 5) \cdot (2^3 \cdot 3) = 2^{8+3} \cdot (5 \cdot 3) = 2^{11} \cdot 15$.
Нам нужно доказать делимость на $60$. Разложим 60 на множители: $60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 15$.
Представим наше выражение $2^{11} \cdot 15$ в следующем виде: $2^9 \cdot 2^2 \cdot 15 = 2^9 \cdot (2^2 \cdot 15) = 2^9 \cdot 60$.
Так как выражение является произведением целого числа $2^9$ и 60, оно делится на 60.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Докажем, что значение выражения $(16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3)$ делится на 63. Сначала представим все основания степеней как степени двойки: $16=2^4$, $8=2^3$, $4=2^2$.
Выражение примет вид: $((2^4)^3 - (2^3)^3)((2^2)^3 + 2^3) = (2^{12} - 2^9)(2^6 + 2^3)$.
Теперь вынесем общие множители в каждой скобке:
Первая скобка: $2^{12} - 2^9 = 2^9(2^3 - 1) = 2^9(8 - 1) = 2^9 \cdot 7$.
Вторая скобка: $2^6 + 2^3 = 2^3(2^3 + 1) = 2^3(8 + 1) = 2^3 \cdot 9$.
Перемножим полученные выражения:
$(2^9 \cdot 7) \cdot (2^3 \cdot 9) = 2^{9+3} \cdot (7 \cdot 9) = 2^{12} \cdot 63$.
Полученное выражение $2^{12} \cdot 63$ очевидно делится на 63, так как является произведением целого числа $2^{12}$ и 63.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Докажем, что значение выражения $(125^2 + 25^2)(5^2 - 1)$ делится на 39. Представим основания степеней как степени пятерки: $125=5^3$, $25=5^2$.
Выражение примет вид: $((5^3)^2 + (5^2)^2)(5^2 - 1) = (5^6 + 5^4)(25 - 1) = (5^6 + 5^4) \cdot 24$.
Вынесем общий множитель в первой скобке:
$5^6 + 5^4 = 5^4(5^2 + 1) = 5^4(25 + 1) = 5^4 \cdot 26$.
Таким образом, все выражение равно $(5^4 \cdot 26) \cdot 24$.
Нам нужно доказать делимость на $39$. Разложим 39 на простые множители: $39 = 3 \cdot 13$.
Рассмотрим множители в нашем выражении: $5^4 \cdot 26 \cdot 24$. Мы видим, что $26 = 2 \cdot 13$ и $24 = 3 \cdot 8$.
Сгруппируем множители: $5^4 \cdot (2 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 8) = 5^4 \cdot 2 \cdot 8 \cdot (13 \cdot 3) = 5^4 \cdot 16 \cdot 39$.
Поскольку выражение является произведением целого числа $5^4 \cdot 16$ и 39, оно делится на 39.
Ответ: Что и требовалось доказать.