Номер 775, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 775, страница 159.

Условие.

775. Докажите, что разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$, где $a \neq 0$, $c \neq 0$, кратна 11.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ кратна 11, представим эти числа в виде суммы их разрядных слагаемых. Запись $\overline{abc}$ обозначает трехзначное число, у которого a — цифра сотен, b — цифра десятков, а c — цифра единиц. Условия $a \neq 0$ и $c \neq 0$ гарантируют, что оба числа являются трехзначными.

Значение числа $\overline{abc}$ можно записать как:
$\overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c$

Аналогично, значение числа $\overline{cba}$, в котором цифры сотен и единиц поменялись местами, равно:
$\overline{cba} = 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$

Теперь найдем разность этих двух чисел:
$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение, сгруппировав подобные члены:
$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$
$= 99a - 99c$

Вынесем общий множитель 99 за скобки:
$99(a - c)$

Поскольку число 99 делится на 11 ($99 = 11 \cdot 9$), то и всё выражение $99(a - c)$ делится на 11. Его можно представить в виде:
$11 \cdot 9(a - c)$

Так как $a$ и $c$ — это цифры, их разность $(a - c)$ является целым числом. Следовательно, разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ всегда является произведением числа 11 и целого числа $9(a-c)$, а значит, она всегда кратна 11.

Ответ: Что и требовалось доказать.