Номер 774, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 774, страница 159.

Условие.

774. Докажите, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — произвольное целое число. Нам нужно доказать, что сумма этого числа и его квадрата, то есть выражение $n + n^2$, всегда является чётным числом.

Преобразуем данное выражение, вынеся общий множитель $n$ за скобки: $n + n^2 = n(n + 1)$

В результате мы получили произведение двух последовательных целых чисел: $n$ и $n + 1$. Для любых двух последовательных целых чисел одно из них обязательно будет чётным, а другое — нечётным.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если число $n$ — чётное, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — целое число. Тогда произведение $n(n + 1)$ будет равно $2k(2k + 1)$. Так как это произведение содержит множитель 2, оно является чётным.
2. Если число $n$ — нечётное, то следующее за ним число $n + 1$ будет чётным. Его можно представить в виде $n + 1 = 2k$, где $k$ — целое число. Тогда произведение $n(n + 1)$ будет равно $n(2k) = 2nk$. Так как это произведение содержит множитель 2, оно также является чётным.

Таким образом, в любом случае произведение $n(n+1)$ является чётным числом, а значит, и равная ему сумма $n + n^2$ всегда будет чётным числом для любого целого $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма целого числа $n$ и его квадрата $n^2$ равна $n+n^2$. Это выражение можно представить в виде произведения $n(n+1)$. Так как $n$ и $n+1$ являются двумя последовательными целыми числами, одно из них обязательно является чётным. Произведение любого целого числа на чётное число всегда является чётным. Следовательно, сумма $n+n^2$ всегда будет чётным числом.