Номер 769, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 769, страница 159.

Условие.

769. Разложите на множители:

а) $ (a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b) $;

б) $ (x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b) $;

в) $ 7a^2(a - x) + (6a^2 - ax)(x - a) $;

г) $ 11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(y - 3b) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы разложить на множители выражение $(a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b)$, необходимо найти общий множитель и вынести его за скобки. В данном случае общий множитель — это выражение в скобках $(a + 2b)$.

Вынесем $(a + 2b)$ за скобки:

$(a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b) = (a + 2b)((a - 3b) + 5a)$

Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$a - 3b + 5a = (a + 5a) - 3b = 6a - 3b$

Выражение принимает вид: $(a + 2b)(6a - 3b)$.

Заметим, что во второй скобке $(6a - 3b)$ есть общий числовой множитель 3, который также можно вынести за скобки:

$6a - 3b = 3(2a - b)$

Окончательно получаем:

$3(a + 2b)(2a - b)$

Ответ: $3(a + 2b)(2a - b)$

б) В выражении $(x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b)$ общим множителем является $(2x - 5b)$. Вынесем его за скобки.

$(x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b) = (2x - 5b)((x + 8y) - 8y)$

Упростим выражение во второй скобке:

$x + 8y - 8y = x$

В результате получаем произведение:

$(2x - 5b)x$ или $x(2x - 5b)$

Ответ: $x(2x - 5b)$

в) В выражении $7a^2(a - x) + (6a^2 - ax)(x - a)$ на первый взгляд нет одинаковых множителей. Однако заметим, что множители $(a - x)$ и $(x - a)$ отличаются только знаком: $(x - a) = -(a - x)$.

Заменим $(x - a)$ на $-(a - x)$ во втором слагаемом:

$7a^2(a - x) + (6a^2 - ax)(-(a - x)) = 7a^2(a - x) - (6a^2 - ax)(a - x)$

Теперь у нас есть общий множитель $(a - x)$, который мы можем вынести за скобки:

$(a - x)(7a^2 - (6a^2 - ax))$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение во второй скобке:

$7a^2 - 6a^2 + ax = a^2 + ax$

Получаем: $(a - x)(a^2 + ax)$.

В выражении $(a^2 + ax)$ есть общий множитель $a$. Вынесем его за скобки:

$a^2 + ax = a(a + x)$

Окончательный вид разложения на множители:

$a(a - x)(a + x)$

Ответ: $a(a - x)(a + x)$

г) В выражении $11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(y - 3b)$ так же, как и в предыдущем примере, множители $(3b - y)$ и $(y - 3b)$ отличаются знаком: $(y - 3b) = -(3b - y)$.

Подставим $-(3b - y)$ вместо $(y - 3b)$:

$11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(-(3b - y)) = 11b^2(3b - y) + (6y - 3b^2)(3b - y)$

Теперь выносим общий множитель $(3b - y)$ за скобки:

$(3b - y)(11b^2 + (6y - 3b^2))$

Упростим выражение во второй скобке:

$11b^2 + 6y - 3b^2 = (11b^2 - 3b^2) + 6y = 8b^2 + 6y$

Выражение принимает вид: $(3b - y)(8b^2 + 6y)$.

Во второй скобке $(8b^2 + 6y)$ есть общий числовой множитель 2, который можно вынести:

$8b^2 + 6y = 2(4b^2 + 3y)$

Окончательный результат:

$2(3b - y)(4b^2 + 3y)$

Ответ: $2(3b - y)(4b^2 + 3y)$