Страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

766. В водный раствор соли массой 480 г добавили 20 г соли. В результате концентрация раствора повысилась на 3,75%. Сколько соли было в растворе первоначально?

Обозначим за $x$ первоначальную массу соли в растворе в граммах.

Масса исходного раствора составляет 480 г. Первоначальная концентрация соли ($C_1$) — это отношение массы соли к массе раствора:

$C_1 = \frac{x}{480}$

После добавления 20 г соли, масса соли в растворе стала равной $(x + 20)$ г. Общая масса раствора также увеличилась и стала равной $480 + 20 = 500$ г.

Новая концентрация соли ($C_2$) в растворе составляет:

$C_2 = \frac{x + 20}{500}$

По условию задачи, концентрация раствора повысилась на 3,75%. Переведем проценты в десятичную дробь: $3,75\% = 0,0375$. Это означает, что разница между новой и первоначальной концентрациями равна 0,0375:

$C_2 - C_1 = 0,0375$

Составим уравнение, подставив выражения для $C_1$ и $C_2$:

$\frac{x + 20}{500} - \frac{x}{480} = 0,0375$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 500 и 480, которое равно 12000.

$12000 \cdot \left(\frac{x + 20}{500}\right) - 12000 \cdot \left(\frac{x}{480}\right) = 12000 \cdot 0,0375$

$24 \cdot (x + 20) - 25 \cdot x = 450$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$24x + 480 - 25x = 450$

$480 - x = 450$

$x = 480 - 450$

$x = 30$

Следовательно, первоначальная масса соли в растворе составляла 30 г.

Проверка:
1. Первоначальная концентрация: $C_1 = \frac{30 \text{ г}}{480 \text{ г}} \cdot 100\% = 6,25\%$.
2. Новая масса соли: $30 \text{ г} + 20 \text{ г} = 50 \text{ г}$.
3. Новая масса раствора: $480 \text{ г} + 20 \text{ г} = 500 \text{ г}$.
4. Новая концентрация: $C_2 = \frac{50 \text{ г}}{500 \text{ г}} \cdot 100\% = 10\%$.
5. Увеличение концентрации: $C_2 - C_1 = 10\% - 6,25\% = 3,75\%$.
Это соответствует условию задачи.

Ответ: 30 г.

769. Разложите на множители:

а) $ (a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b) $;

б) $ (x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b) $;

в) $ 7a^2(a - x) + (6a^2 - ax)(x - a) $;

г) $ 11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(y - 3b) $.

а) Чтобы разложить на множители выражение $(a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b)$, необходимо найти общий множитель и вынести его за скобки. В данном случае общий множитель — это выражение в скобках $(a + 2b)$.

Вынесем $(a + 2b)$ за скобки:

$(a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b) = (a + 2b)((a - 3b) + 5a)$

Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$a - 3b + 5a = (a + 5a) - 3b = 6a - 3b$

Выражение принимает вид: $(a + 2b)(6a - 3b)$.

Заметим, что во второй скобке $(6a - 3b)$ есть общий числовой множитель 3, который также можно вынести за скобки:

$6a - 3b = 3(2a - b)$

Окончательно получаем:

$3(a + 2b)(2a - b)$

Ответ: $3(a + 2b)(2a - b)$

б) В выражении $(x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b)$ общим множителем является $(2x - 5b)$. Вынесем его за скобки.

$(x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b) = (2x - 5b)((x + 8y) - 8y)$

Упростим выражение во второй скобке:

$x + 8y - 8y = x$

В результате получаем произведение:

$(2x - 5b)x$ или $x(2x - 5b)$

Ответ: $x(2x - 5b)$

в) В выражении $7a^2(a - x) + (6a^2 - ax)(x - a)$ на первый взгляд нет одинаковых множителей. Однако заметим, что множители $(a - x)$ и $(x - a)$ отличаются только знаком: $(x - a) = -(a - x)$.

Заменим $(x - a)$ на $-(a - x)$ во втором слагаемом:

$7a^2(a - x) + (6a^2 - ax)(-(a - x)) = 7a^2(a - x) - (6a^2 - ax)(a - x)$

Теперь у нас есть общий множитель $(a - x)$, который мы можем вынести за скобки:

$(a - x)(7a^2 - (6a^2 - ax))$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение во второй скобке:

$7a^2 - 6a^2 + ax = a^2 + ax$

Получаем: $(a - x)(a^2 + ax)$.

В выражении $(a^2 + ax)$ есть общий множитель $a$. Вынесем его за скобки:

$a^2 + ax = a(a + x)$

Окончательный вид разложения на множители:

$a(a - x)(a + x)$

Ответ: $a(a - x)(a + x)$

г) В выражении $11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(y - 3b)$ так же, как и в предыдущем примере, множители $(3b - y)$ и $(y - 3b)$ отличаются знаком: $(y - 3b) = -(3b - y)$.

Подставим $-(3b - y)$ вместо $(y - 3b)$:

$11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(-(3b - y)) = 11b^2(3b - y) + (6y - 3b^2)(3b - y)$

Теперь выносим общий множитель $(3b - y)$ за скобки:

$(3b - y)(11b^2 + (6y - 3b^2))$

Упростим выражение во второй скобке:

$11b^2 + 6y - 3b^2 = (11b^2 - 3b^2) + 6y = 8b^2 + 6y$

Выражение принимает вид: $(3b - y)(8b^2 + 6y)$.

Во второй скобке $(8b^2 + 6y)$ есть общий числовой множитель 2, который можно вынести:

$8b^2 + 6y = 2(4b^2 + 3y)$

Окончательный результат:

$2(3b - y)(4b^2 + 3y)$

Ответ: $2(3b - y)(4b^2 + 3y)$

772. Вынесите за скобки числовой множитель:

а) $(3a + 6)^2$; в) $(7x + 7y)^2$; д) $(5q - 30)^3$;

б) $(12b - 4)^2$; г) $(-3p + 6)^3$; е) $(2a - 8)^4$.

а) Чтобы вынести числовой множитель за скобки в выражении $(3a + 6)^2$, найдём наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 3 и 6. НОД(3, 6) = 3. Вынесем 3 за скобку внутри выражения:
$3a + 6 = 3(a + 2)$.
Теперь всё выражение выглядит так: $(3(a + 2))^2$.
Используем свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$ и возведём каждый множитель в квадрат:
$(3(a + 2))^2 = 3^2 \cdot (a + 2)^2 = 9(a + 2)^2$.
Ответ: $9(a + 2)^2$.

б) В выражении $(12b - 4)^2$ найдём НОД для коэффициентов 12 и 4. НОД(12, 4) = 4. Вынесем 4 за скобку:
$12b - 4 = 4(3b - 1)$.
Подставим обратно в исходное выражение: $(4(3b - 1))^2$.
Применим свойство степени произведения:
$(4(3b - 1))^2 = 4^2 \cdot (3b - 1)^2 = 16(3b - 1)^2$.
Ответ: $16(3b - 1)^2$.

в) В выражении $(7x + 7y)^2$ общим множителем является 7. Выносим его:
$7x + 7y = 7(x + y)$.
Получаем выражение: $(7(x + y))^2$.
Возводим каждый множитель в квадрат:
$(7(x + y))^2 = 7^2 \cdot (x + y)^2 = 49(x + y)^2$.
Ответ: $49(x + y)^2$.

г) В выражении $(-3p + 6)^3$ найдём НОД для модулей коэффициентов |-3| и 6. НОД(3, 6) = 3. Вынесем 3 за скобку:
$-3p + 6 = 3(-p + 2) = 3(2 - p)$.
Выражение принимает вид: $(3(2 - p))^3$.
Используем свойство степени произведения:
$(3(2 - p))^3 = 3^3 \cdot (2 - p)^3 = 27(2 - p)^3$.
Ответ: $27(2 - p)^3$.

д) В выражении $(5q - 30)^3$ найдём НОД для коэффициентов 5 и 30. НОД(5, 30) = 5. Выносим 5 за скобку:
$5q - 30 = 5(q - 6)$.
Получаем: $(5(q - 6))^3$.
Возводим в куб каждый множитель:
$(5(q - 6))^3 = 5^3 \cdot (q - 6)^3 = 125(q - 6)^3$.
Ответ: $125(q - 6)^3$.

е) В выражении $(2a - 8)^4$ найдём НОД для коэффициентов 2 и 8. НОД(2, 8) = 2. Выносим 2 за скобку:
$2a - 8 = 2(a - 4)$.
Получаем: $(2(a - 4))^4$.
Возводим в четвертую степень каждый множитель:
$(2(a - 4))^4 = 2^4 \cdot (a - 4)^4 = 16(a - 4)^4$.
Ответ: $16(a - 4)^4$.

775. Докажите, что разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$, где $a \neq 0$, $c \neq 0$, кратна 11.

Чтобы доказать, что разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ кратна 11, представим эти числа в виде суммы их разрядных слагаемых. Запись $\overline{abc}$ обозначает трехзначное число, у которого a — цифра сотен, b — цифра десятков, а c — цифра единиц. Условия $a \neq 0$ и $c \neq 0$ гарантируют, что оба числа являются трехзначными.

Значение числа $\overline{abc}$ можно записать как:
$\overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c$

Аналогично, значение числа $\overline{cba}$, в котором цифры сотен и единиц поменялись местами, равно:
$\overline{cba} = 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$

Теперь найдем разность этих двух чисел:
$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение, сгруппировав подобные члены:
$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$
$= 99a - 99c$

Вынесем общий множитель 99 за скобки:
$99(a - c)$

Поскольку число 99 делится на 11 ($99 = 11 \cdot 9$), то и всё выражение $99(a - c)$ делится на 11. Его можно представить в виде:
$11 \cdot 9(a - c)$

Так как $a$ и $c$ — это цифры, их разность $(a - c)$ является целым числом. Следовательно, разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ всегда является произведением числа 11 и целого числа $9(a-c)$, а значит, она всегда кратна 11.

Ответ: Что и требовалось доказать.

764. На элеватор поступило 1400 т пшеницы двух сортов. При обработке пшеницы одного сорта оказалось 2% отходов, а другого сорта — 3% отходов. Чистой пшеницы получилось 1364 т. Сколько пшеницы каждого сорта поступило на элеватор?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса пшеницы первого сорта в тоннах (у которой 2% отходов), а $y$ — масса пшеницы второго сорта в тоннах (у которой 3% отходов).

Суммарная масса поступившей пшеницы составляет 1400 т. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 1400$

Теперь определим массу чистой пшеницы. Если у пшеницы первого сорта 2% отходов, то чистого зерна остается $100\% - 2\% = 98\%$. Таким образом, масса чистой пшеницы первого сорта составляет $0.98x$ т.

Аналогично, если у пшеницы второго сорта 3% отходов, то чистого зерна остается $100\% - 3\% = 97\%$. Масса чистой пшеницы второго сорта составляет $0.97y$ т.

Суммарная масса чистой пшеницы по условию равна 1364 т. Это дает нам второе уравнение:

$0.98x + 0.97y = 1364$

Получили систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 1400 \\ 0.98x + 0.97y = 1364 \end{cases} $

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 1400 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$0.98x + 0.97(1400 - x) = 1364$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:

$0.98x + 0.97 \cdot 1400 - 0.97x = 1364$

$0.98x + 1358 - 0.97x = 1364$

Приведем подобные слагаемые:

$(0.98 - 0.97)x + 1358 = 1364$

$0.01x + 1358 = 1364$

Перенесем 1358 в правую часть уравнения:

$0.01x = 1364 - 1358$

$0.01x = 6$

Найдем $x$:

$x = \frac{6}{0.01} = 600$

Итак, масса пшеницы первого сорта составляет 600 т.

Теперь найдем массу пшеницы второго сорта, подставив значение $x$ в выражение $y = 1400 - x$:

$y = 1400 - 600 = 800$

Масса пшеницы второго сорта составляет 800 т.

Выполним проверку.
Общая масса: $600\text{ т} + 800\text{ т} = 1400\text{ т}$.
Масса чистой пшеницы: $600 \cdot 0.98 + 800 \cdot 0.97 = 588 + 776 = 1364\text{ т}$.
Результаты соответствуют условию задачи.

Ответ: на элеватор поступило 600 т пшеницы первого сорта и 800 т пшеницы второго сорта.

767. Разложите на множители:

а) $a^{20} - a^{10} + a^5$;

б) $b^{60} + b^{40} - b^{20}$.

в) $a^{10} - a^8 - a^6$;

г) $b^{40} + b^{20} + b^{10}$.

а)

В выражении $a^{20} - a^{10} + a^5$ все члены содержат переменную $a$. Для разложения на множители вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $a^5$.

$a^{20} - a^{10} + a^5 = a^5 \cdot \frac{a^{20}}{a^5} - a^5 \cdot \frac{a^{10}}{a^5} + a^5 \cdot \frac{a^5}{a^5}$

Используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$, получаем:

$a^5(a^{20-5} - a^{10-5} + a^{5-5}) = a^5(a^{15} - a^5 + a^0) = a^5(a^{15} - a^5 + 1)$

Ответ: $a^5(a^{15} - a^5 + 1)$

б)

В выражении $b^{60} + b^{40} - b^{20}$ все члены содержат переменную $b$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $b^{20}$.

$b^{60} + b^{40} - b^{20} = b^{20} \cdot \frac{b^{60}}{b^{20}} + b^{20} \cdot \frac{b^{40}}{b^{20}} - b^{20} \cdot \frac{b^{20}}{b^{20}}$

$b^{20}(b^{60-20} + b^{40-20} - b^{20-20}) = b^{20}(b^{40} + b^{20} - 1)$

Ответ: $b^{20}(b^{40} + b^{20} - 1)$

в)

В выражении $a^{10} - a^8 - a^6$ все члены содержат переменную $a$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $a^6$.

$a^{10} - a^8 - a^6 = a^6 \cdot \frac{a^{10}}{a^6} - a^6 \cdot \frac{a^8}{a^6} - a^6 \cdot \frac{a^6}{a^6}$

$a^6(a^{10-6} - a^{8-6} - a^{6-6}) = a^6(a^4 - a^2 - 1)$

Ответ: $a^6(a^4 - a^2 - 1)$

г)

В выражении $b^{40} + b^{20} + b^{10}$ все члены содержат переменную $b$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $b^{10}$.

$b^{40} + b^{20} + b^{10} = b^{10} \cdot \frac{b^{40}}{b^{10}} + b^{10} \cdot \frac{b^{20}}{b^{10}} + b^{10} \cdot \frac{b^{10}}{b^{10}}$

$b^{10}(b^{40-10} + b^{20-10} + b^{10-10}) = b^{10}(b^{30} + b^{10} + 1)$

Ответ: $b^{10}(b^{30} + b^{10} + 1)$

770. Найдите значение выражения:

а) $5cx + c^2$ при $x = 0,17$, $c = 1,15$;

б) $4a^2 - ab$ при $a = 1,47$, $b = 5,78$.

а) Чтобы найти значение выражения $5cx + c^2$ при $x = 0,17$ и $c = 1,15$, сначала упростим его, вынеся общий множитель $c$ за скобки. Это позволит сделать вычисления проще.

$5cx + c^2 = c(5x + c)$

Теперь подставим заданные значения переменных $x = 0,17$ и $c = 1,15$ в преобразованное выражение:

$1,15 \cdot (5 \cdot 0,17 + 1,15)$

Выполним вычисления по действиям:

1. Сначала найдем произведение в скобках:
$5 \cdot 0,17 = 0,85$

2. Затем выполним сложение в скобках:
$0,85 + 1,15 = 2$

3. Наконец, умножим результат на значение $c$:
$1,15 \cdot 2 = 2,3$

Ответ: 2,3

б) Чтобы найти значение выражения $4a^2 - ab$ при $a = 1,47$ и $b = 5,78$, также вынесем общий множитель $a$ за скобки для упрощения расчетов.

$4a^2 - ab = a(4a - b)$

Подставим заданные значения переменных $a = 1,47$ и $b = 5,78$ в полученное выражение:

$1,47 \cdot (4 \cdot 1,47 - 5,78)$

Выполним вычисления по действиям:

1. Сначала найдем произведение в скобках:
$4 \cdot 1,47 = 5,88$

2. Затем выполним вычитание в скобках:
$5,88 - 5,78 = 0,1$

3. В завершение умножим результат на значение $a$:
$1,47 \cdot 0,1 = 0,147$

Ответ: 0,147

773. Докажите, что значение выражения $a^2 - a$ кратно 2 при любом целом $a$.

Чтобы доказать, что значение выражения $a^2 - a$ кратно 2 при любом целом $a$, необходимо показать, что результат этого выражения всегда является четным числом.

Для доказательства преобразуем данное выражение, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$a^2 - a = a(a - 1)$

Полученное выражение представляет собой произведение двух последовательных целых чисел: $a$ и $a-1$.

Рассмотрим два возможных случая для целого числа $a$.

1. Если число $a$ является четным, то произведение $a(a-1)$ также будет четным, поскольку один из его множителей ($a$) — четный. Произведение любого целого числа на четное число всегда является четным.

2. Если число $a$ является нечетным, то число $(a-1)$ (как предшествующее нечетному) будет четным. Следовательно, произведение $a(a-1)$ снова будет четным, так как один из его множителей ($(a-1)$) — четный.

Таким образом, поскольку для любого целого $a$ один из множителей в произведении $a(a-1)$ обязательно будет четным, то и само произведение всегда будет четным числом. А любое четное число по определению кратно 2.

Следовательно, значение выражения $a^2 - a$ кратно 2 при любом целом $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

765. Бригада предполагала убирать 80 га пшеницы в день, чтобы закончить работу в намеченный ею срок. Фактически в день она убирала на 10 га больше, и поэтому за один день до срока ей осталось убрать 30 га. Сколько гектаров пшеницы должна была убрать бригада?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ — это общая площадь пшеницы, которую должна была убрать бригада (в гектарах), а $t$ — это запланированное количество дней для выполнения всей работы.

Согласно плану, бригада должна была убирать по 80 га в день. Таким образом, общая площадь может быть выражена как произведение дневной нормы на количество дней:
$S = 80 \times t$

Фактически бригада работала с большей производительностью. Ежедневно она убирала на 10 га больше, чем планировалось:
$80 + 10 = 90$ га в день.

За один день до намеченного срока, то есть за время $t-1$ дней, бригада убрала определенную часть поля. Эта часть равна произведению фактической дневной нормы на количество отработанных дней:
$90 \times (t-1)$ га.

По условию задачи, после этого времени бригаде осталось убрать еще 30 га. Это означает, что вся площадь $S$ равна сумме уже убранной площади и оставшейся:
$S = 90 \times (t-1) + 30$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $S = 80t$
2) $S = 90(t-1) + 30$

Поскольку левые части уравнений равны (обе равны $S$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти время $t$:
$80t = 90(t-1) + 30$

Решим это уравнение:
$80t = 90t - 90 + 30$
$80t = 90t - 60$
$90t - 80t = 60$
$10t = 60$
$t = \frac{60}{10} = 6$
Таким образом, плановый срок выполнения работы составлял 6 дней.

Теперь, зная плановое количество дней, мы можем найти общую площадь $S$, подставив значение $t=6$ в первое уравнение:
$S = 80 \times 6 = 480$ га.

Для проверки можно подставить $t=6$ и во второе уравнение:
$S = 90 \times (6-1) + 30 = 90 \times 5 + 30 = 450 + 30 = 480$ га.
Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: бригада должна была убрать 480 гектаров пшеницы.

768. Докажите, что:

a) $7^{16} + 7^{14}$ делится на 50;

б) $5^{31} - 5^{29}$ делится на 100;

в) $25^9 + 5^{17}$ делится на 30;

г) $27^{10} - 9^{14}$ делится на 24;

д) $12^{13} - 12^{12} + 12^{11}$ делится на 7 и на 19;

е) $11^9 - 11^8 + 11^7$ делится на 3 и на 37.

а) Чтобы доказать, что выражение $7^{16} + 7^{14}$ делится на 50, вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $7^{14}$.

$7^{16} + 7^{14} = 7^{14} \cdot 7^2 + 7^{14} \cdot 1 = 7^{14}(7^2 + 1)$.

Теперь вычислим значение выражения в скобках: $7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$.

В результате преобразования мы получили выражение $7^{14} \cdot 50$. Так как один из множителей в этом произведении равен 50, то все выражение делится на 50 без остатка.

Ответ: Доказано, что $7^{16} + 7^{14}$ делится на 50.

б) Чтобы доказать, что выражение $5^{31} - 5^{29}$ делится на 100, вынесем за скобки общий множитель $5^{29}$.

$5^{31} - 5^{29} = 5^{29} \cdot 5^2 - 5^{29} \cdot 1 = 5^{29}(5^2 - 1)$.

Вычислим значение в скобках: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.

Получили выражение $5^{29} \cdot 24$. Чтобы доказать делимость на 100, представим $100$ как $4 \cdot 25$. Выражение можно переписать так:

$5^{29} \cdot 24 = 5^{27} \cdot 5^2 \cdot (4 \cdot 6) = 5^{27} \cdot 25 \cdot 4 \cdot 6 = (5^{27} \cdot 6) \cdot (25 \cdot 4) = (5^{27} \cdot 6) \cdot 100$.

Так как полученное выражение содержит множитель 100, оно делится на 100.

Ответ: Доказано, что $5^{31} - 5^{29}$ делится на 100.

в) Чтобы доказать, что $25^9 + 5^{17}$ делится на 30, приведем степени к общему основанию 5, используя то, что $25=5^2$.

$25^9 + 5^{17} = (5^2)^9 + 5^{17} = 5^{18} + 5^{17}$.

Вынесем за скобки общий множитель $5^{17}$:

$5^{17}(5^1 + 1) = 5^{17}(5 + 1) = 5^{17} \cdot 6$.

Для доказательства делимости на 30 ($30 = 5 \cdot 6$) преобразуем выражение:

$5^{17} \cdot 6 = 5^{16} \cdot 5 \cdot 6 = 5^{16} \cdot 30$.

Так как выражение содержит множитель 30, оно делится на 30.

Ответ: Доказано, что $25^9 + 5^{17}$ делится на 30.

г) Чтобы доказать, что $27^{10} - 9^{14}$ делится на 24, приведем степени к общему основанию 3, зная, что $27=3^3$ и $9=3^2$.

$27^{10} - 9^{14} = (3^3)^{10} - (3^2)^{14} = 3^{30} - 3^{28}$.

Вынесем за скобки общий множитель $3^{28}$:

$3^{28}(3^2 - 1) = 3^{28}(9 - 1) = 3^{28} \cdot 8$.

Для доказательства делимости на 24 ($24 = 3 \cdot 8$) преобразуем выражение:

$3^{28} \cdot 8 = 3^{27} \cdot 3 \cdot 8 = 3^{27} \cdot 24$.

Так как выражение содержит множитель 24, оно делится на 24.

Ответ: Доказано, что $27^{10} - 9^{14}$ делится на 24.

д) Докажем, что $12^{13} - 12^{12} + 12^{11}$ делится на 7 и на 19. Вынесем за скобки общий множитель $12^{11}$.

$12^{11}(12^2 - 12^1 + 1) = 12^{11}(144 - 12 + 1)$.

Вычислим значение в скобках: $144 - 12 + 1 = 133$.

Получили выражение $12^{11} \cdot 133$. Проверим, делится ли 133 на 7 и 19.

$133 \div 7 = 19$. Следовательно, $133 = 7 \cdot 19$.

Таким образом, исходное выражение равно $12^{11} \cdot 7 \cdot 19$. Поскольку оно содержит множитель 7, оно делится на 7. Поскольку оно содержит множитель 19, оно делится на 19.

Ответ: Доказано, что $12^{13} - 12^{12} + 12^{11}$ делится на 7 и на 19.

е) Докажем, что $11^9 - 11^8 + 11^7$ делится на 3 и на 37. Вынесем за скобки общий множитель $11^7$.

$11^7(11^2 - 11^1 + 1) = 11^7(121 - 11 + 1)$.

Вычислим значение в скобках: $121 - 11 + 1 = 111$.

Получили выражение $11^7 \cdot 111$. Разложим 111 на множители. Сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$, значит, оно делится на 3. $111 \div 3 = 37$.

Следовательно, $111 = 3 \cdot 37$.

Таким образом, исходное выражение равно $11^7 \cdot 3 \cdot 37$. Поскольку оно содержит множитель 3, оно делится на 3. Поскольку оно содержит множитель 37, оно делится на 37.

Ответ: Доказано, что $11^9 - 11^8 + 11^7$ делится на 3 и на 37.

771. Решите уравнение:

а) $1,2x^2 + x = 0;$

б) $1,6x + x^2 = 0;$

в) $0,5x^2 - x = 0;$

г) $5x^2 = x;$

д) $1,6x^2 = 3x;$

е) $x = x^2.$

а) $1,2x^2 + x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1,2x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, получаем два случая:

$x = 0$

или

$1,2x + 1 = 0$

Решим второе уравнение:

$1,2x = -1$

$x = -1 / 1,2 = -1 / \frac{12}{10} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5/6$.

Ответ: $0; -5/6$.

б) $1,6x + x^2 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде $x^2 + 1,6x = 0$ и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 1,6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

или

$x + 1,6 = 0$

Из второго уравнения находим $x = -1,6$.

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1,6$.

Ответ: $0; -1,6$.

в) $0,5x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(0,5x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

или

$0,5x - 1 = 0$

Решим второе уравнение:

$0,5x = 1$

$x = 1 / 0,5 = 2$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Ответ: $0; 2$.

г) $5x^2 = x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$5x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

или

$5x - 1 = 0$

Решим второе уравнение:

$5x = 1$

$x = 1/5$ (или $0,2$)

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/5$.

Ответ: $0; 1/5$.

д) $1,6x^2 = 3x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$1,6x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1,6x - 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

или

$1,6x - 3 = 0$

Решим второе уравнение:

$1,6x = 3$

$x = \frac{3}{1,6} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8}$ (или $1,875$)

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 15/8$.

Ответ: $0; 15/8$.

е) $x = x^2$

Перенесем все члены в одну часть уравнения:

$x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

или

$x - 1 = 0$

Из второго уравнения находим $x = 1$.

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Ответ: $0; 1$.

774. Докажите, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом.

Пусть $n$ — произвольное целое число. Нам нужно доказать, что сумма этого числа и его квадрата, то есть выражение $n + n^2$, всегда является чётным числом.

Преобразуем данное выражение, вынеся общий множитель $n$ за скобки: $n + n^2 = n(n + 1)$

В результате мы получили произведение двух последовательных целых чисел: $n$ и $n + 1$. Для любых двух последовательных целых чисел одно из них обязательно будет чётным, а другое — нечётным.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если число $n$ — чётное, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — целое число. Тогда произведение $n(n + 1)$ будет равно $2k(2k + 1)$. Так как это произведение содержит множитель 2, оно является чётным.
2. Если число $n$ — нечётное, то следующее за ним число $n + 1$ будет чётным. Его можно представить в виде $n + 1 = 2k$, где $k$ — целое число. Тогда произведение $n(n + 1)$ будет равно $n(2k) = 2nk$. Так как это произведение содержит множитель 2, оно также является чётным.

Таким образом, в любом случае произведение $n(n+1)$ является чётным числом, а значит, и равная ему сумма $n + n^2$ всегда будет чётным числом для любого целого $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма целого числа $n$ и его квадрата $n^2$ равна $n+n^2$. Это выражение можно представить в виде произведения $n(n+1)$. Так как $n$ и $n+1$ являются двумя последовательными целыми числами, одно из них обязательно является чётным. Произведение любого целого числа на чётное число всегда является чётным. Следовательно, сумма $n+n^2$ всегда будет чётным числом.