Страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

739. Какой многочлен нужно вычесть из многочлена $y^2 - 5y + 1$, чтобы разность была тождественно равна:

а) $0$;

б) $5$;

в) $y^2$;

г) $4y^2 - y + 7?$

Пусть искомый многочлен равен $M$. По условию задачи, из многочлена $y^2 - 5y + 1$ нужно вычесть $M$, чтобы получить заданную разность. Это можно записать в виде уравнения: $(y^2 - 5y + 1) - M = \text{разность}$. Из этого уравнения мы можем найти $M$: $M = (y^2 - 5y + 1) - \text{разность}$.

а) Требуется, чтобы разность была тождественно равна 0.
Найдём искомый многочлен $M$:
$M = (y^2 - 5y + 1) - 0 = y^2 - 5y + 1$.
Ответ: $y^2 - 5y + 1$.

б) Требуется, чтобы разность была тождественно равна 5.
Найдём искомый многочлен $M$:
$M = (y^2 - 5y + 1) - 5 = y^2 - 5y - 4$.
Ответ: $y^2 - 5y - 4$.

в) Требуется, чтобы разность была тождественно равна $y^2$.
Найдём искомый многочлен $M$:
$M = (y^2 - 5y + 1) - y^2 = (y^2 - y^2) - 5y + 1 = -5y + 1$.
Ответ: $-5y + 1$.

г) Требуется, чтобы разность была тождественно равна $4y^2 - y + 7$.
Найдём искомый многочлен $M$:
$M = (y^2 - 5y + 1) - (4y^2 - y + 7)$.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$M = y^2 - 5y + 1 - 4y^2 + y - 7 = (y^2 - 4y^2) + (-5y + y) + (1 - 7) = -3y^2 - 4y - 6$.
Ответ: $-3y^2 - 4y - 6$.

742. Запись $\overline{abc}$ означает число, в котором $a$ сотен, $b$ десятков и $c$ единиц. Это число можно представить в виде многочлена

$\overline{abc} = 100a + 10b + c.$

Например, $845 = 100 \cdot 8 + 10 \cdot 4 + 5.$

Представьте в виде многочлена число:

а) $\overline{xy}$;

б) $\overline{yx}$;

в) $\overline{a0b}$;

г) $\overline{abcd}$.

Представление числа в виде многочлена основано на его разложении по разрядам. Каждая цифра числа умножается на соответствующую степень числа 10 (единицы, десятки, сотни и т.д.), и полученные произведения складываются.

а) В числе $\overline{xy}$ цифра $x$ обозначает количество десятков, а цифра $y$ — количество единиц. Чтобы представить это число в виде многочлена, нужно $x$ умножить на 10 и прибавить $y$.
Ответ: $\overline{xy} = 10x + y$

б) Аналогично предыдущему пункту, в числе $\overline{yx}$ цифра $y$ находится в разряде десятков, а цифра $x$ — в разряде единиц.
Ответ: $\overline{yx} = 10y + x$

в) В трехзначном числе $\overline{a0b}$ цифра $a$ обозначает количество сотен, цифра 0 — количество десятков, а цифра $b$ — количество единиц. Представляем его в виде суммы разрядных слагаемых.
Ответ: $\overline{a0b} = 100 \cdot a + 10 \cdot 0 + b = 100a + b$

г) Для четырехзначного числа $\overline{abcd}$ цифра $a$ находится в разряде тысяч, $b$ — в разряде сотен, $c$ — в разряде десятков и $d$ — в разряде единиц.
Ответ: $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$

745. Решите уравнение:

а) $(4 - 2x) + (5x - 3) = (x - 2) - (x + 3);$

б) $5 - 3y - (4 - 2y) = y - 8 - (y - 1);$

в) $7 - 1\frac{1}{2}a + \left(\frac{1}{2}a - 5\frac{1}{2}\right) = 2a + \frac{3}{4} - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}a\right);$

г) $-3.6 - (1.5x + 1) = -4x - 0.8 - (0.4x - 2).$

а) $(4 - 2x) + (5x - 3) = (x - 2) - (x + 3)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части просто убираем их, так как перед ними стоит знак плюс. В правой части перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки внутри них меняются на противоположные.

$4 - 2x + 5x - 3 = x - 2 - x - 3$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения. В левой части сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные члены: $(5x - 2x) + (4 - 3)$. В правой части также: $(x - x) + (-2 - 3)$.

$3x + 1 = -5$

Перенесем 1 из левой части в правую, изменив знак:

$3x = -5 - 1$

$3x = -6$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-6}{3}$

$x = -2$

Ответ: $-2$

б) $5 - 3y - (4 - 2y) = y - 8 - (y - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Помним, что если перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки меняются на противоположные.

$5 - 3y - 4 + 2y = y - 8 - y + 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части. Слева: $(-3y + 2y) + (5 - 4)$. Справа: $(y - y) + (-8 + 1)$.

$-y + 1 = -7$

Перенесем 1 из левой части в правую с противоположным знаком:

$-y = -7 - 1$

$-y = -8$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $y$:

$y = 8$

Ответ: $8$

в) $7 - 1\frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a - 5\frac{1}{2}) = 2a + \frac{3}{4} - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}a)$

Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ и $5\frac{1}{2} = \frac{11}{2}$.

$7 - \frac{3}{2}a + (\frac{1}{2}a - \frac{11}{2}) = 2a + \frac{3}{4} - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}a)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$7 - \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a - \frac{11}{2} = 2a + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}a$

Приведем подобные слагаемые в каждой части. Слева: $(-\frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a) + (7 - \frac{11}{2}) = -\frac{2}{2}a + (\frac{14}{2} - \frac{11}{2}) = -a + \frac{3}{2}$.

Справа: $(2a - \frac{1}{2}a) + (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) = (\frac{4}{2}a - \frac{1}{2}a) + (\frac{3}{4} - \frac{2}{4}) = \frac{3}{2}a + \frac{1}{4}$.

Получаем уравнение:

$-a + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}a + \frac{1}{4}$

Перенесем слагаемые с $a$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2}a + a$

Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2}a + \frac{2}{2}a$.

$\frac{5}{4} = \frac{5}{2}a$

Чтобы найти $a$, разделим обе части на $\frac{5}{2}$ (то есть умножим на обратную дробь $\frac{2}{5}$):

$a = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5}$

$a = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $-3,6 - (1,5x + 1) = -4x - 0,8 - (0,4x - 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Не забываем менять знаки, если перед скобкой стоит минус.

$-3,6 - 1,5x - 1 = -4x - 0,8 - 0,4x + 2$

Приведем подобные слагаемые в каждой части. Слева: $-1,5x + (-3,6 - 1) = -1,5x - 4,6$.

Справа: $(-4x - 0,4x) + (-0,8 + 2) = -4,4x + 1,2$.

Получаем уравнение:

$-1,5x - 4,6 = -4,4x + 1,2$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки:

$-1,5x + 4,4x = 1,2 + 4,6$

Выполним сложение и вычитание:

$2,9x = 5,8$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2,9:

$x = \frac{5,8}{2,9}$

$x = 2$

Ответ: $2$

740. Докажите, что при любом значении $x$ разность многочленов $1\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - 1\frac{1}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}$ и $0,75x^4 - 0,125x^3 - 2,25x^2 + 0,4x - \frac{3}{7}$ принимает положительное значение.

Чтобы доказать, что разность двух многочленов принимает положительное значение при любом значении $x$, необходимо найти эту разность, упростить полученное выражение и проанализировать его.

Обозначим первый многочлен как $P_1(x)$ и второй как $P_2(x)$:

$P_1(x) = 1\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - 1\frac{1}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}$

$P_2(x) = 0,75x^4 - 0,125x^3 - 2,25x^2 + 0,4x - \frac{3}{7}$

Найдем разность $D(x) = P_1(x) - P_2(x)$. Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби:

$1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
$1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$0,75 = \frac{3}{4}$
$0,125 = \frac{1}{8}$
$2,25 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь вычтем один многочлен из другого:

$D(x) = (1\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - 1\frac{1}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}) - (0,75x^4 - 0,125x^3 - 2,25x^2 + 0,4x - \frac{3}{7})$

Подставим преобразованные дроби и раскроем скобки:

$D(x) = (\frac{7}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}) - (\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{9}{4}x^2 + \frac{2}{5}x - \frac{3}{7})$

$D(x) = \frac{7}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7} - \frac{3}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{3}{7}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$D(x) = (\frac{7}{4} - \frac{3}{4})x^4 + (-\frac{1}{8} + \frac{1}{8})x^3 + (-\frac{5}{4} + \frac{9}{4})x^2 + (\frac{2}{5} - \frac{2}{5})x + (\frac{5}{7} + \frac{3}{7})$

Выполним вычисления:

$D(x) = (\frac{4}{4})x^4 + (0)x^3 + (\frac{4}{4})x^2 + (0)x + \frac{8}{7}$

$D(x) = x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$

Теперь проанализируем полученное выражение $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$.

1. Член $x^4$ всегда неотрицателен, так как любое число, возведенное в четвертую (четную) степень, больше или равно нулю. То есть, $x^4 \ge 0$ для любого $x$.

2. Член $x^2$ также всегда неотрицателен, так как любое число, возведенное во вторую (четную) степень, больше или равно нулю. То есть, $x^2 \ge 0$ для любого $x$.

3. Свободный член $\frac{8}{7}$ является положительным числом ($\frac{8}{7} > 0$).

Таким образом, разность многочленов представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых ($x^4$ и $x^2$) и одного положительного слагаемого ($\frac{8}{7}$). Сумма неотрицательного числа и положительного числа всегда положительна. Минимальное значение выражения достигается при $x=0$, когда $x^4=0$ и $x^2=0$. В этом случае значение выражения равно $\frac{8}{7}$.

$x^4 + x^2 + \frac{8}{7} \ge 0 + 0 + \frac{8}{7} = \frac{8}{7}$

Поскольку $\frac{8}{7} > 0$, то и вся сумма $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$ всегда больше нуля при любом значении $x$.

Ответ: Разность многочленов равна $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$. Так как $x^4 \ge 0$, $x^2 \ge 0$ для любого $x$, а $\frac{8}{7} > 0$, то их сумма всегда будет положительным числом, что и требовалось доказать.

743. Представьте в виде многочлена и упростите получившуюся сумму или разность:

a) $\overline{abc} + \overline{cba};$

б) $\overline{abc} + \overline{bc};$

в) $\overline{abc} - \overline{ba};$

г) $\overline{abc} - \overline{ac}.$

а)

Запись $\overline{abc}$ обозначает число, которое можно представить в виде многочлена (суммы разрядных слагаемых) как $100a + 10b + c$. Аналогично, $\overline{cba} = 100c + 10b + a$.
Найдем сумму этих выражений:
$\overline{abc} + \overline{cba} = (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a)$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(100a + a) + (10b + 10b) + (c + 100c) = 101a + 20b + 101c$.

Ответ: $101a + 20b + 101c$

б)

Представим числа $\overline{abc}$ и $\overline{bc}$ в виде многочленов:
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$
$\overline{bc} = 10b + c$
Найдем их сумму и упростим выражение:
$\overline{abc} + \overline{bc} = (100a + 10b + c) + (10b + c)$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$100a + (10b + 10b) + (c + c) = 100a + 20b + 2c$.

Ответ: $100a + 20b + 2c$

в)

Представим числа $\overline{abc}$ и $\overline{ba}$ в виде многочленов:
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$
$\overline{ba} = 10b + a$
Найдем их разность и упростим выражение:
$\overline{abc} - \overline{ba} = (100a + 10b + c) - (10b + a)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$100a + 10b + c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + c = 99a + c$.

Ответ: $99a + c$

г)

Представим числа $\overline{abc}$ и $\overline{ac}$ в виде многочленов:
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$
$\overline{ac} = 10a + c$
Найдем их разность и упростим выражение:
$\overline{abc} - \overline{ac} = (100a + 10b + c) - (10a + c)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$100a + 10b + c - 10a - c = (100a - 10a) + 10b + (c - c) = 90a + 10b$.

Ответ: $90a + 10b$

746. Найдите четыре числа, пропорциональные числам 2, 4, 5 и 6, если разность между суммой двух последних и суммой двух первых чисел равна 4,8.

Пусть искомые четыре числа будут $a_1, a_2, a_3$ и $a_4$.

По условию задачи, эти числа пропорциональны числам 2, 4, 5 и 6. Это означает, что существует некоторый коэффициент пропорциональности $k$, такой что:

$a_1 = 2k$

$a_2 = 4k$

$a_3 = 5k$

$a_4 = 6k$

Также в условии сказано, что разность между суммой двух последних чисел ($a_3$ и $a_4$) и суммой двух первых чисел ($a_1$ и $a_2$) равна 4,8. Составим уравнение на основе этого условия:

$(a_3 + a_4) - (a_1 + a_2) = 4,8$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $a_1, a_2, a_3, a_4$ через коэффициент $k$:

$(5k + 6k) - (2k + 4k) = 4,8$

Выполним действия в скобках:

$11k - 6k = 4,8$

Упростим левую часть уравнения:

$5k = 4,8$

Найдем значение коэффициента пропорциональности $k$:

$k = \frac{4,8}{5}$

$k = 0,96$

Теперь, зная коэффициент $k$, мы можем найти каждое из четырех искомых чисел:

Первое число: $a_1 = 2 \times 0,96 = 1,92$

Второе число: $a_2 = 4 \times 0,96 = 3,84$

Третье число: $a_3 = 5 \times 0,96 = 4,80$

Четвертое число: $a_4 = 6 \times 0,96 = 5,76$

Проведем проверку: сумма двух последних чисел равна $4,8 + 5,76 = 10,56$. Сумма двух первых чисел равна $1,92 + 3,84 = 5,76$. Разность между этими суммами составляет $10,56 - 5,76 = 4,8$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 1,92; 3,84; 4,8; 5,76.

738. Докажите, что выражение $A + B - C$ тождественно равно выражению $C - B - A$, если $A = 2x - 1$, $B = 3x + 1$ и $C = 5x$.

Для доказательства тождества $A + B - C = C - B - A$ необходимо упростить обе части равенства, подставив в них заданные выражения для $A$, $B$ и $C$.

1. Упростим левую часть тождества: $A + B - C$
Подставим выражения $A = 2x - 1$, $B = 3x + 1$ и $C = 5x$:
$A + B - C = (2x - 1) + (3x + 1) - 5x$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x - 1 + 3x + 1 - 5x = (2x + 3x - 5x) + (-1 + 1) = 0x + 0 = 0$

2. Упростим правую часть тождества: $C - B - A$
Подставим те же выражения:
$C - B - A = 5x - (3x + 1) - (2x - 1)$
Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$5x - 3x - 1 - 2x + 1 = (5x - 3x - 2x) + (-1 + 1) = 0x + 0 = 0$

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же значению (0) при любом значении переменной $x$, данное тождество является верным.

Ответ: Так как $A + B - C = 0$ и $C - B - A = 0$, то $A + B - C = C - B - A$, что и требовалось доказать.

741. Докажите, что при любом значении $a$ сумма многочленов

$1,6a^5 - 1\frac{1}{3}a^4 - 3,4a^3 - a^2 - 1$ и $-1\frac{3}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3$

принимает отрицательное значение.

Чтобы доказать, что сумма данных многочленов принимает отрицательное значение при любом значении a, сначала найдем эту сумму. Для этого сложим многочлены:

$(1,6a^5 - 1\frac{1}{3}a^4 - 3,4a^3 - a^2 - 1) + (-1\frac{3}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3)$

Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби:

• $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
• $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
• $3,4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}$
• $-1\frac{3}{5} = -\frac{8}{5}$
• $3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$

Подставим эти значения в выражение и сгруппируем подобные слагаемые по степеням переменной a:

$(\frac{8}{5}a^5 - \frac{4}{3}a^4 - \frac{17}{5}a^3 - a^2 - 1) + (-\frac{8}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + \frac{17}{5}a^3) = $

$= (\frac{8}{5}a^5 - \frac{8}{5}a^5) + (-\frac{4}{3}a^4 - \frac{2}{3}a^4) + (-\frac{17}{5}a^3 + \frac{17}{5}a^3) - a^2 - 1$

Теперь выполним действия с коэффициентами:

Коэффициент при $a^5$: $\frac{8}{5} - \frac{8}{5} = 0$

Коэффициент при $a^4$: $-\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$

Коэффициент при $a^3$: $-\frac{17}{5} + \frac{17}{5} = 0$

В результате сложения получаем следующий многочлен:

$0 \cdot a^5 - 2a^4 + 0 \cdot a^3 - a^2 - 1 = -2a^4 - a^2 - 1$

Теперь нам нужно доказать, что выражение $-2a^4 - a^2 - 1$ всегда отрицательно.

Рассмотрим свойства степеней переменной a:

1. $a^4 = (a^2)^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($a^2 \ge 0$), то и $a^4$ всегда неотрицательно, то есть $a^4 \ge 0$.

2. $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа a.

Вынесем знак минус за скобки в полученном выражении:

$-2a^4 - a^2 - 1 = -(2a^4 + a^2 + 1)$

Оценим выражение в скобках $2a^4 + a^2 + 1$.

Поскольку $a^4 \ge 0$, то $2a^4 \ge 0$.

Поскольку $a^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых $2a^4 + a^2$ также неотрицательна: $2a^4 + a^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному выражению прибавить 1, результат будет строго положительным:

$2a^4 + a^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Это означает, что выражение в скобках $(2a^4 + a^2 + 1)$ всегда больше или равно 1, то есть всегда положительно.

Следовательно, итоговое выражение $-(2a^4 + a^2 + 1)$ является числом, противоположным положительному, а значит, оно всегда отрицательно при любом значении a. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма многочленов равна $-2a^4 - a^2 - 1$. Данное выражение отрицательно при любом значении а, так как $a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$, из чего следует, что $2a^4 + a^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, выражение $-(2a^4 + a^2 + 1)$ всегда меньше нуля. Утверждение доказано.

744. Докажите, что:

а) сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ кратна сумме $a$ и $b$;

б) разность чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ кратна 9.

а)

Для доказательства представим двузначные числа $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ в виде суммы их разрядных слагаемых. В числе $\overline{ab}$ буква $a$ обозначает количество десятков, а $b$ — количество единиц. В числе $\overline{ba}$ — наоборот.

Таким образом, мы можем записать:

$\overline{ab} = 10 \cdot a + b$

$\overline{ba} = 10 \cdot b + a$

Теперь найдем сумму этих двух чисел:

$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$11(a + b)$

Сумма цифр $a$ и $b$ равна $(a+b)$. Полученное выражение $11(a+b)$ содержит множитель $(a+b)$, а значит, оно делится на $(a+b)$ нацело. Результатом деления будет целое число 11:

$\frac{11(a+b)}{a+b} = 11$

Это доказывает, что сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ всегда кратна сумме их цифр $a$ и $b$.

Ответ: Доказано.

б)

Используем те же алгебраические представления чисел, что и в предыдущем пункте:

$\overline{ab} = 10a + b$

$\overline{ba} = 10b + a$

Найдем разность этих чисел. Для определённости будем считать, что $\overline{ab} \ge \overline{ba}$.

$\overline{ab} - \overline{ba} = (10a + b) - (10b + a)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$10a + b - 10b - a = (10a - a) + (b - 10b) = 9a - 9b$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$9(a - b)$

Поскольку $a$ и $b$ являются цифрами (целыми числами), их разность $(a-b)$ также является целым числом. Полученное выражение $9(a-b)$ является произведением целого числа $(a-b)$ и числа 9. Согласно определению кратности, любое число, которое можно представить в виде $9 \cdot k$, где $k$ — целое число, кратно 9.

Следовательно, разность чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ всегда кратна 9.

Ответ: Доказано.

747. Если к задуманному числу приписать справа нуль и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число было задумано?

Для решения задачи введем переменную. Пусть задуманное число равно $x$.

Если к задуманному числу приписать справа нуль, это эквивалентно умножению этого числа на 10. Таким образом, получится число $10x$.

Далее, по условию, результат ($10x$) нужно вычесть из числа 143. Это записывается как $143 - 10x$.

В итоге должно получиться утроенное задуманное число, то есть $3x$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два последних выражения:

$143 - 10x = 3x$

Для решения уравнения перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону. Добавим $10x$ к обеим частям уравнения:

$143 = 3x + 10x$

Сложим подобные слагаемые в правой части:

$143 = 13x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 13:

$x = \frac{143}{13}$

$x = 11$

Таким образом, задуманное число равно 11.

Выполним проверку:
1. Задуманное число: 11.
2. Приписываем справа нуль: 110.
3. Вычитаем результат из 143: $143 - 110 = 33$.
4. Утроенное задуманное число: $3 \cdot 11 = 33$.
Так как $33 = 33$, решение найдено верно.

Ответ: 11.