Номер 741, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 741, страница 156.

Условие.

741. Докажите, что при любом значении $a$ сумма многочленов

$1,6a^5 - 1\frac{1}{3}a^4 - 3,4a^3 - a^2 - 1$ и $-1\frac{3}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3$

принимает отрицательное значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что сумма данных многочленов принимает отрицательное значение при любом значении a, сначала найдем эту сумму. Для этого сложим многочлены:

$(1,6a^5 - 1\frac{1}{3}a^4 - 3,4a^3 - a^2 - 1) + (-1\frac{3}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3)$

Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби:

• $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
• $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
• $3,4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}$
• $-1\frac{3}{5} = -\frac{8}{5}$
• $3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$

Подставим эти значения в выражение и сгруппируем подобные слагаемые по степеням переменной a:

$(\frac{8}{5}a^5 - \frac{4}{3}a^4 - \frac{17}{5}a^3 - a^2 - 1) + (-\frac{8}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + \frac{17}{5}a^3) = $

$= (\frac{8}{5}a^5 - \frac{8}{5}a^5) + (-\frac{4}{3}a^4 - \frac{2}{3}a^4) + (-\frac{17}{5}a^3 + \frac{17}{5}a^3) - a^2 - 1$

Теперь выполним действия с коэффициентами:

Коэффициент при $a^5$: $\frac{8}{5} - \frac{8}{5} = 0$

Коэффициент при $a^4$: $-\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$

Коэффициент при $a^3$: $-\frac{17}{5} + \frac{17}{5} = 0$

В результате сложения получаем следующий многочлен:

$0 \cdot a^5 - 2a^4 + 0 \cdot a^3 - a^2 - 1 = -2a^4 - a^2 - 1$

Теперь нам нужно доказать, что выражение $-2a^4 - a^2 - 1$ всегда отрицательно.

Рассмотрим свойства степеней переменной a:

1. $a^4 = (a^2)^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($a^2 \ge 0$), то и $a^4$ всегда неотрицательно, то есть $a^4 \ge 0$.

2. $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа a.

Вынесем знак минус за скобки в полученном выражении:

$-2a^4 - a^2 - 1 = -(2a^4 + a^2 + 1)$

Оценим выражение в скобках $2a^4 + a^2 + 1$.

Поскольку $a^4 \ge 0$, то $2a^4 \ge 0$.

Поскольку $a^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых $2a^4 + a^2$ также неотрицательна: $2a^4 + a^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному выражению прибавить 1, результат будет строго положительным:

$2a^4 + a^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Это означает, что выражение в скобках $(2a^4 + a^2 + 1)$ всегда больше или равно 1, то есть всегда положительно.

Следовательно, итоговое выражение $-(2a^4 + a^2 + 1)$ является числом, противоположным положительному, а значит, оно всегда отрицательно при любом значении a. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма многочленов равна $-2a^4 - a^2 - 1$. Данное выражение отрицательно при любом значении а, так как $a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$, из чего следует, что $2a^4 + a^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, выражение $-(2a^4 + a^2 + 1)$ всегда меньше нуля. Утверждение доказано.